Ogni trasformazione di coordinate si può descrivere sinteticamente (in maniera compatta) attraverso una matrice di trasformazione detta in gergo matrice jacobiana \( J\). Questa matrice puo essere vista come una sorta di "macchina" o un operatore che ci permette di passare da un insieme di coordinate ad un altro, semplicemente operando una moltiplicazione.

Consideriamo nuovamente un punto \( P \), esprimibile attraverso due differenti sistemi di coordinate \( (x^1, x^2, \ldots, x^n) \) e \( (z^1, z^2, \ldots, z^n) \).

Ricordando quanto detto in precedenza, sappiamo che è possibile esprimere il punto \( P \) nelle nuove coordinate semplicemente operando la seguente trasformazione $$ x^i = x^i(z^1, z^2, \ldots, z^n), \forall i $$ Ogni coordinata si ottiene come immagine di una funzione delle nuove coordinate \( z^i\). Ed ora entra in gioco la matrice jacobiana! Infatti per esprimere in una notazione vettoriale, come passare da una descrizione all'altra bisogna moltiplicare per la matrice \( J\).

Ma vediamo com'è fatta questa matrice. L'elemento \( j_{ij} \) è la derivata parziale della funzione coordinata \( x^i\) rispetto alla variabile coordinata \( z^j\):

$$ J = {\Large \begin{pmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial z^1} & \frac{\partial x^1}{\partial z^2} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial z^n} \\ \frac{\partial x^2}{\partial z^1} & \frac{\partial x^2}{\partial z^2} & \ldots & \frac{\partial x^2}{\partial z^n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x^n}{\partial z^1} & \frac{\partial x^n}{\partial z^2} & \ldots & \frac{\partial x^n}{\partial z^n} \end{pmatrix} } = \left( \frac{\partial x^i}{\partial z^j}\right)$$

Quindi per esprimere ad esempio le trasformazioni dal sistema di coordinate \( Z\) al sistema di coordinate \( X\) possiamo scrivere: $$ X = JZ $$ Possiamo riscrivere nella forma di prodotto per matrici, tipico dell'algebra lineare:

$${\large \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial z^1} & \frac{\partial x^1}{\partial z^2} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial z^n} \\ \frac{\partial x^2}{\partial z^1} & \frac{\partial x^2}{\partial z^2} & \ldots & \frac{\partial x^2}{\partial z^n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x^n}{\partial z^1} & \frac{\partial x^n}{\partial z^2} & \ldots & \frac{\partial x^n}{\partial z^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z^1 \\ z^2 \\ \vdots \\ z^n \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial z^1} z^1 + \frac{\partial x^1}{\partial z^2}z^2 + \ldots + \frac{\partial x^1}{\partial z^n}z^n \\ \frac{\partial x^2}{\partial z^1} z^1 + \frac{\partial x^2}{\partial z^2}z^2 + \ldots + \frac{\partial x^2}{\partial z^n}z^n \\ \vdots \\ \frac{\partial x^n}{\partial z^1}z^1 + \frac{\partial x^n}{\partial z^2} z^2 + \ldots + \frac{\partial x^n}{\partial z^n}z^n \end{pmatrix}} $$

Si ottiene un vettore in cui ogni componente è una sommatoria \( \sum_{i=1}^n \frac{\partial x^i}{\partial z^j} z^j \), possiamo omettere il simbolo di sommatoria, ricordandoci della convenzione di Einstein secondo cui si somma sugli indici ripetuti: \( \frac{\partial x^i}{\partial z^j} z^j \)

Questo significa che la coordinata i-esima si esprime come: \( x^i = \frac{\partial x^i}{\partial z^j} z^j \)

ESEMPIO: COORDINATE POLARI

Consideriamo un esempio concreto: Proviamo ad esprimere le trasformazioni polari-cartesiane. Ricordiamo che le coordinate polari di un punto sono: $$\begin{cases} x = x(\rho, \theta) = \rho cos(\theta) \\ y = y(\rho, \theta) = \rho sen(\theta) \end{cases} $$ Come vedete, anzitutto, abbiamo le due funzioni di \( \rho\) e \( \theta \), due relazioni che esprimono le coordinate \( x\) ed \( y\) in funzione delle nuove coordinate. La matrisce jacobiana della trasformazione si ottiene calcolando le derivate parziali delle funzioni rispetto a ciscuna variabile: $${\large \begin{pmatrix} \frac{\partial x(\rho, \theta)}{\partial \rho} & \frac{\partial x(\rho, \theta)}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y(\rho, \theta)}{\partial \rho} & \frac{\partial y(\rho, \theta)}{\partial \theta} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \rho cos(\theta)}{\partial \rho} & \frac{\partial \rho cos(\theta)}{\partial \theta} \\ \frac{\partial \rho sin(\theta)}{\partial \rho} & \frac{\partial \rho sin(\theta)}{\partial \theta} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(\theta) & -\rho sin(\theta) \\ sin(\theta) & \rho cos(\theta) \\ \end{pmatrix} } $$ Ebbene, vogliamo le coordinate cartesiane del punto \( (\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}) \), per ottenerle bisogna fare il seguente calcolo: $$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(\frac{\pi}{4}) & -\sqrt{2} sin(\frac{\pi}{4}) \\ sin(\frac{\pi}{4}) & \sqrt{2} cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \diamond $$