Iniziamo l'argomento "trasformazioni", con la più semplice delle trasformazioni: quella lineare. Lineare significa, informalmente, che le quantità, o se vogliamo, le variabili che compaiono nelle nostre espressioni hanno al massimo grado pari ad \( 1 \). Tutta l'algebra lineare si basa su questo fatto, e la sua semplicità ci è molto utile in diversi contesti; ma torniamo alle trasformazioni.

$$ \diamond \cdot \diamond $$

Una trasformazione lineare, possiamo vederla come una traslazione e/o dilatazione-contrazione del nostro sistema (supposto rettangolare), rispetto all'origine. Consideriamo un punto \( P\) e due set di coordinate \( (x^1, x^2, \ldots, x^n) \) e \( (z^1, z^2, \ldots, z^n) \). Possiamo descrivere il punto, sia attraverso il primo set di coordinate, in questo modo: \( P(x^1, x^2, \ldots, x^n) \); che nel secondo: \( P(z^1, z^2, \ldots, z^n) \).

Ebbene, possiamo passare da un sistema all'altro, semplicemente operando una combinazione lineare con opportuni coefficienti data dalla seguente espressione: $${\large x^i = \sum_{j=1}^n a^i_jz^j }$$ dove: la coordinata i-esima nel vecchio sistema, può essere ottenuta a partire dal nuovo set di coordinate attraverso la combinazione lineare con opportuni coefficienti \( a^i_j\), in questo caso, la \( i\) si riferisce alla coordinata \(x\) (si chiama indice di coordinata \( x\)), mentre la \( j\) varia nelle coordinate \( z\) (indice di coordinata \( z\)).

Questa sommatoria non è altro che una funzione delle nuove coordinate \( x^i = x^i(z)\). Esplicitandola, ottenaimo la seguente espressione (combinazione lineare): $$ x^1 = a^1_1z^1 + a^1_2z^2 + \ldots + a^1_nz^n $$ Naturalmente, l'espressione va ripetuta per ogni coordinata \( x^i\), ottenendo un vettore colonna ad \( n\) dimensioni:

$$ \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^n a^1_jz^j \\ \sum_{j=1}^n a^2_jz^j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^n a^n_jz^j \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a^1_1z^1 + a^1_2z^2 + \ldots + a^1_nz^n \\ a^2_1z^1 + a^2_2z^2 + \ldots + a^2_nz^n \\ \vdots \\ a^n_1z^1 + a^n_2z^2 + \ldots + a^n_nz^n \end{pmatrix} $$



Matrice di trasformazione

Per essere più precisi, e più concisi, Se definiamo la matrice \( A = \left\{a^i_j\right\} = \begin{pmatrix} a^1_1 & a^1_2 & \ldots & a^1_n \\ a^2_1 & a^2_2 & \ldots & a^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^n_1 & a^n_2 & \ldots & a^n_n \end{pmatrix}\) , Detta
Matrice della trasformazione lineare, possiamo esprimere il tutto in una notazione più compatta, tipica dell'algebra lineare: $$ X = AZ \rightarrow \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} = \Bigl(A\Bigr) \begin{pmatrix} z^1 \\ z^2 \\ \vdots \\ z^n \end{pmatrix}$$

$$ \diamond $$