Abbiamo, capito che una superficie è descritta matematicamente da una parametrizzazione, cioè, da un insieme di funzioni regolari che associano ciascun punto di un dominio di \(\mathbb R^2\) in ciascun punto della superficie. Consideriamo un punto del dominio \( q = (u_0, v_0) \). A questo punto corrisponde un punto \( p = \bigl( x(u_0, v_0), y(u_0, v_0) z(u_0, v_0) \bigr) \). Facciamo la seguente cosa:

Consideriamo i due insiemi di punti \( (u_0, v) \) e \( (u, v_0) \). Essi corrispondono alle due rette parallele agli assi e passanti per il punto \( q_0\): $$ \begin{cases} u = t \\ v = v_0 \end{cases} \hspace{1cm} \begin{cases} v = t \\ u = u_0 \end{cases} $$ Se consideriamo la restrizione di tali insiemi rispetto alla paramatrizzazione, otteniamo altre due rette giacenti sulla superficie e passanti per \( p_0\) (sulla superficie) - queste rette sono le coordinate curvilinee della superficie, è costituiscono il punto di partenza per definire tutti i concetti di metrica e geometria della superficie.

$$ \diamond $$