Riprendiamo per un attimo l'espressione del vettore tangente ad una curva nella superficie. $$ \overset{\large \cdot}{\zeta} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} + \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \\ \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} + \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \\ \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} + \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \end{pmatrix} $$ Facendo uso del formalismo delle matrici, possiamo riscrivere il vettore come: $$ \overset{\large \cdot}{\zeta} = \underset{dx}{\underbrace{\begin{Vmatrix} {\partial x \over \partial u}{\overset{\cdot}{u}} & {\partial x \over \partial v}{\overset{\cdot}{v}} \\ {\partial y \over \partial u}{\overset{\cdot}{u}} & {\partial y \over \partial v}{\overset{\cdot}{v}} \\ {\partial z \over \partial u}{\overset{\cdot}{u}} & {\partial z \over \partial v}{\overset{\cdot}{v}}\end{Vmatrix}}} \overset{\large \cdot}{\xi} $$ Dove: $$ \begin{Vmatrix} {\partial x \over \partial u}{\overset{\cdot}{u}} & {\partial x \over \partial v}{\overset{\cdot}{v}} \\ {\partial y \over \partial u}{\overset{\cdot}{u}} & {\partial y \over \partial v}{\overset{\cdot}{v}} \\ {\partial z \over \partial u}{\overset{\cdot}{u}} & {\partial z \over \partial v}{\overset{\cdot}{v}} \end{Vmatrix} = dx $$ E' il differenziale della parametrizzazione, che i più attenti di voi, avranno notato, corrisponde alla matrice jacobiana della trasformazione dalle coordinate \( u, v\), alle coordinate \( x, y, z\). Quindi riassumendo: $$ \overset{\large \cdot}{\zeta} = dx \overset{\large \cdot}{\xi} $$

$$ \diamond $$