Effettuiamo ora, un procedimento di limite, per cui le tessere diventano sempre più piccole ed in numero di \( \infty \). \( \Delta s \rightarrow ds \) e \( \Delta t \rightarrow dt \)

Il prodotto vettoriale diviene quindi, in norma: \( ||ds \partial_{s} \times dt\partial_{t} || = || \partial_{s} \times \partial_{t} ||dt ds \); e ricordanto quanto detto a proposito della definizione di matrice di Gram e di determinante gramiano abbiamo che: $$ \sqrt{\begin{vmatrix} \langle \partial_{s}, \partial_{s}\rangle & \langle \partial_{s}, \partial_{t}\rangle \\ \langle \partial_{t}, \partial_{s} \rangle & \langle \partial_{t}, \partial_{t} \rangle \end{vmatrix}}dsdt = \sqrt{\begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{vmatrix}}dsdt = \sqrt{det{(g_{ij})}}dsdt $$

Dove i prodotti scalari \( \langle \partial_{i}, \partial_{j}\rangle = g_{ij} \) con \( i=t, j=s\) sono detti i coefficienti del tensore metrico o della metrica. Integrando nel dominio \( dsdt \) otteniamo la formula per il calcolo dell'area della superficie: $$ \int{\sqrt{\begin{vmatrix} \langle \partial_{s}, \partial_{s}\rangle & \langle \partial_{s}, \partial_{t}\rangle \\ \langle \partial_{t}, \partial_{s} \rangle & \langle \partial_{t}, \partial_{t} \rangle \end{vmatrix}}} dsdt = \int\sqrt{\begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{vmatrix}}dsdt = \int\sqrt{det{(g_{ij})}}dsdt $$

$$ \diamond $$