Il fatto saliente, è che avendo a disposizione uno strumento di linearizzazione di una superficie, possiamo costruirci un modello di metrica sulla superfizie. Per fare questo abbiamo bisogno del piano tangente. Infatti è proprio lì che andremo a costruire la metrica, sul piano tangente. Il motivo è semplice! Siccome il piano tangente approssima la superficie in ogni punto (localmente in un intorno sufficientemente piccolo), se definiamo una metrica (cioè un concetto di distanza), localmente, nell'intorno di un punto sul piano tangente, allora il gioco è fatto!! Basta cambiare punto, definire il piano tangente su quel punto e così via... vediamo più in dettaglio come fare...

Attraverso la conoscenza del piano tangente in ogni punto \(P\) della superficie, riusciamo a linarizzare o approssimare "localmente", (in un'area mnolto ristretta "vinina a \( P\)") la superficie stessa con il piano tangente; inoltre abbiamo compiuto un passo cruciale, che aprirà la strada verso la geometria di riemann delle varietà a più dimensioni. Se ci pensate, l'aver definito un piano tangente in un punto, ci ha permesso di introdurre un sistema di coordinate locali alla superficie (valide solo per il piano tangente in quel punto specifico). In questo modo abbiamo introdotto una "geometria intrinseca", eliminando le coordinate "assolute" di \( \mathbb R^3\).

il piano tangente, infatti è funzione solo delle coordinate della parametrizzazione e non fa riferimento alle coordinate dello spazio \(\mathbb R^3\) in cui essa è immersa. E' un fatto assolutamente straordinario di importanza cruciale che fù scoperto da Gauss e altri...e che costituisce il fondamento di tutta la geometria differenziale delle superfici

Metrica

Per definire una metrica, sulla superficie, facciamo riferimento al piano tangente. In particolare ogni vettore del piano tangente si può esprimere in un unico modo attraverso la base locale costituita dai vettori \( \{\partial_u, \partial_v \}\), di conseguenza un generico vettore \( w \in \mathbb{T_p(S)}\) si esprime nel modo seguente: $$ w = w_1\partial_u + w_2\partial_v $$ $$ \diamond $$