Attraverso la conoscenza del piano tangente in ogni punto \(P\) della superficie, riusciamo a linarizzare o approssimare "localmente", (in un'area mnolto ristretta "vinina a \( P\)") la superficie stessa con il piano tangente; inoltre abbiamo compiuto un passo cruciale, che aprirà la strada verso la geometria di riemann delle varietà a più dimensioni. Se ci pensate, l'aver definito un piano tangente in un punto, ci ha permesso di introdurre un sistema di coordinate locali alla superficie (valide solo per il piano tangente in quel punto specifico). In questo modo abbiamo introdotto una "geometria intrinseca", eliminando le coordinate "assolute" di \( \mathbb R^3\).

il piano tangente, infatti è funzione solo delle coordinate della parametrizzazione e non fa riferimento alle coordinate dello spazio \(\mathbb R^3\) in cui essa è immersa. E' un fatto assolutamente straordinario di importanza cruciale che fù scoperto da Gauss e altri...e che costituisce il fondamento di tutta la geometria differenziale delle superfici

Metrica

Per definire una metrica, sulla superficie, facciamo riferimento al piano tangente. In particolare ogni vettore del piano tangente si può esprimere in un unico modo attraverso la base locale costituita dai vettori \( \{\partial_u, \partial_v \}\), di conseguenza un generico vettore \( w \in \mathbb{T_p(S)}\) si esprime nel modo seguente: $$ w = w_1\partial_u + w_2\partial_v $$ Essendo \( \mathbb{T_p(S)}\), uno spazio vettoriale euclideo bidimensionale isomorfo ad \( \mathbb R^2 \), la norma euclidea di \( w\) sarà: $$ ||w|| = \sqrt{\langle w, w\rangle} $$ di conseguenza siccome \( w = w_1\partial_u + w_2\partial_v \) si ha che: $$ ||w_1\partial_u + w_2\partial_v|| = \sqrt{\langle w_1\partial_u + w_2\partial_v, w_1\partial_u + w_2\partial_v\rangle} $$ Concentriamoci ora solo sul prodotto interno (il termine sotto radice). Applicando le regole di bilinearità, possiamo "splittare" il prodotto scalare: $$\langle w_1\partial_u, w_1\partial_u + w_2\partial_v\rangle + \langle w_2\partial_v, w_1\partial_u + w_2\partial_v\rangle = \langle w_1\partial_u, w_1\partial_u \rangle + \langle w_1\partial_u, + w_2\partial_v \rangle + \langle w_2\partial_v, w_1\partial_u \rangle + \langle w_2\partial_v + w_2\partial_v \rangle = $$ $$ = w_1w_1\langle \partial_u, \partial_u \rangle + w_1w_2\langle\partial_u, + \partial_v \rangle + w_2w_1\langle \partial_v, \partial_u \rangle + w_2w_2\langle\partial_v + \partial_v \rangle $$

Come vedete, abbiamo ottenuto quattro termini, ciscuno dei quali è formato da una parte numerica, e da un prodotto scalare dei vettori di base combinati in tutti i modi possibili. Rinominiamo i termini ottenuti secondo una nomenclatura tradizionale dovuta a Gauss. $$ \begin{cases} \mathrm E = \langle \partial_u, \partial_u \rangle \\ \mathrm F = 2\langle \partial_u, \partial_v \rangle \\ \mathrm G = \langle \partial_v, \partial_v \rangle \end{cases} $$ Riscrivendo i termini secondo la nuova nomenclatura otteniamo la cosiddetta prima forma fondamentale $${\large ||w||^2 = \mathrm Ew_1^2 + 2\mathrm Fw_1w_2 + \mathrm Gw_2^2 }$$

$$ \diamond $$