Una superficie è un oggetto geometrico B-dimensionale, a due dimensioni. Prendete un foglio, piegatelo in ogni modo - quello che ottenete è una superficie "limitata" (non infinita). Di solito in geometria differenziale noi consideriamo una classe speciale di superfici dette "liscie" (smooth). Significa in parole semplici che le superfici non hanno buchi, strappi e singolarità, detto in termini poco rigorosi: "esse non fanno i capricci", se si può passare il termine... I matematici indicano questo tipo di superfici con il termine "superficie differenziabile \( \infty\) volte" e l'insieme contenitore di tutte queste belle superfici è la classe \( C^\infty\).

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Parametrizzazione e supporto

Come avviene per le curve, anche per le superfici bisogna distinguere, tra il supporto della superficie, cioè, il luogo geometrico-platonico dei punti in se, e la sua, o meglio le sue infinite parametrizzazioni, le quali rappresentano una descrizione funzionale e parametrica della superficie; o meglio, rappresentano un modo di disegnare e di tracciare la superficie attraverso delle funzioni "regolari".

Ricordando la definizione di curva, abbiamo visto che una qualunque parametrizzazione, necessita di un solo parametro \( t \), questo perché la curva è intrinsecamente unidimensionale, per essere ben descritta. Una superficie, allora, necessiterà di due parametri \( u, v\) in ogni sua parametrizzazione. La funzione di "mapping" allora sarà una funzione \(s\) da \( A \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3\). Il nome tecnico di questa funzione è diffeomorfismo, ossia (una applicazione continua con l'inversa continua che conserva la topologia). E' evidente, infatti, che se vogliamo mappare una superficie, a partire da un insieme connesso, non vedo percé ad esempio la superficie debba avere un buco! Osservate come che \( A\) essendo un aperto di \(\mathbb R^2\), nella grafica ha i contorni sono "sfumati"... questa è una tecnica grafica che adotteremo in molti altri contesti. $${\Large s = s(u, v) }$$

Notazioni
Una superficie, la indicheremo mediante la sua parametrizzazione associata, attraverso i seguenti modi equivalenti, indicati di seguito:
$$s(u, v) \leftrightarrow \begin{pmatrix} x(u, v) \\ y(u, v) \\ z(u, v) \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{cases}$$
Come per le curve ogni punto è descritto da tre coordinate (stiamo supponendo di essere in \(\mathbb R^3 \) ), solo che ogni coordinata, è una funzione di due variabili (parametri reali \( u, v\)), i quali dipendono - sono, a loro volta, delle funzioni del parametro \( t\).
La funzione \( s\) associa ad ogni coppia \( \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \in \mathbb R^2\), una terna di \( \mathbb R^3\): $$ s: \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \rightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 $$

Quindi, nota importante: parametrizzazione e superficie (o supporto) non sono la stessa cosa. La superficie, vive indipendentemente da \( s(u, v) \) che è la sua descrizione parametrica.

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