Come per le curve esiste un vettore tangente, anche per le superfici è possibile definire un vettore tangente in ogni punto. Se consideriamo una curva nel dominio \( \mathbb R^2\), mediante la mappa \( s\), avremo una curva immagine sulla superficie sulla quale potremo determinare la formula del vettore tangente.

Ricordando quanto visto per le curve nel corso di analisi due, per determinare il vettore tangente, dobbiamo calcolare la derivata del raggio vettore \( \zeta \) e questo si traduce nel calcolo delle derivate delle singole componenti. ogni componente è una funzione di due variabili dipendenti da \(t\). $$ \zeta(t) = \begin{pmatrix} x(u(t), v(t)) \\ y(u(t), v(t)) \\ z(u(t), v(t)) \end{pmatrix} $$

Come possiamo fare la derivata in questo caso? La risposta ci viene dall corso ci analisi due, in particolare bisogna applicare la chain-rule

Possiamo riscrivere il vettore tangente come prodotto di una matrice per una vettore in questo modo:

$$ \zeta = \zeta \begin{pmatrix} x(t, s) \\ y(t, s) \\ z(t, s) \end{pmatrix} \overset{d\zeta}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{s} + \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{t} \\ \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{s} + \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{t} \\ \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{s} + \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{t} \end{pmatrix} $$
$$ \overset{\large \cdot}{\zeta} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overset{\large \cdot}{t} \\ \overset{\large \cdot}{s} \end{pmatrix} = {\Large J \overset{\large \cdot}{\gamma}} $$
La matrice è la matrice jacobiana \( J\) e va vista come un operatore di trasformazione del vettore \( \zeta \) nel vettore \( \overset{\large \cdot}{\zeta} \); infatti moltiplicare una matrice \( 3{\small \times}2\) con un vettore colonna \( 2{\small \times}1\) produce un altro vettore colonna \( 3{\small \times}1\) della stesssa dimenzione del vettore di partenza \( \zeta\).

Osservate come a partire dal vettore tangente alla curva \( \overset{\large \cdot}{\gamma} \), moltiplicando la matrice \( J\) per tale vettore, si ottiene il vettore tangente alla curva sulla superficie \( \overset{\large \cdot}{\zeta} \) questo perche la jacobiana effettua una trasformazione del vettore.

$$ \diamond $$