Per costruirci la nostra tassellazione, dobbiamo dapprima calcolare l'area della singola tessera. Ora siccome la superficie è mappata a partire da \( \mathbb R^2 \), e le coordinate sono funzioni di due variabili, per calcolare l'elemento di area sulla superficie per essere certi di approssimare localmente la superficie bisogna fare riferimento al piano tangente nel generico punto \(P\).

Consideriamo, quindi un quadretto di area nel piano \( \mathbb R^2 \), a questi, corrisponde un altro elemento di area, che non è detto sia di forma quadrangolare, essendo la superficie in generale curva.

Qual è lo strumento matematico che ci consente di calcolare l'area di un parallelogramma a partire da due dei suoi lati? L'abbiamo visto sia nel corso di algebra lineare, si tratta del prodotto vettoriale, in particolare della sua norma.

Il prodotto vettoriale, soddisfa la regola della mano destra e l'antisimmetria, pertanto, vi ricordo che vale: \( a \times b = - b \times a \). Nella figura, ho messo in risalto il prodotto vettoriale \( a \times b \), infatti se ruotiamo per un angolo minore o uguale a \(90°\) il primo vettore \( a\) sul secondo vettore \( b\), il pollice della nostra mano destra punta alla direzione del prodotto vettoriale, cioè verso l'alto come nella figura. Per quanto riguarda il valore della norma, invece, vista la simmetria del vettore abbiamo che: \( ||a \times b|| = ||-b\times a || \)

La norma infatti è la stessa, indipendentemente se il vettore cambia di verso, e rappresenta l'area del parallelogramma formato dai due vettori. Ricordando la definizione abbiamo che: $$ {\large ||a \times b || = ||a|| \cdot ||b|| sin\theta}$$

Sostituendo i vettori indotti dalla parametrizzazione al posto di \( a\) e \( b\) otteniamo l'espressione dell'elemento di area: $$ {\large ||\Delta_s \partial_s \times \Delta_t\partial_t || = ||\Delta_s\partial_s|| \cdot ||\Delta_t\partial_t|| sin\theta}$$

$$ \sum_i ||\Delta_{s_i} \partial_{s_i} \times \Delta_{t_i}\partial_{t_i} || $$
$$ \diamond $$