Consideriamo i due vettori \( \partial_u\) e \( \partial_v\), le cui espressioni vettoriali per componenti sono le seguenti:

$$ \begin{pmatrix} {\partial x \over \partial u} \\ {\partial y \over \partial u} \\ {\partial z \over \partial u} \end{pmatrix} \hspace{1cm} \begin{pmatrix} {\partial x \over \partial v}\\ {\partial y \over \partial v} \\ {\partial z \over \partial v}\end{pmatrix} $$ Sapete qual è il significato di questi vettori? Sono dei vettori speciali, essi sono i vettori tangenti alle coordinate curvilinee! Infatti corrispondono, utilizzando il differenziale ai vettori relativi alle coordinate curvilinee in \( \mathrm U\) $$ \begin{Vmatrix} \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} & \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \\ \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} & \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \\ \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} & \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \end{Vmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{2cm} \begin{Vmatrix} \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} & \frac{\partial x}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \\ \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} & \frac{\partial y}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \\ \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{u} & \frac{\partial z}{\partial t}\overset{\large \cdot}{v} \end{Vmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Infatti: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = {d\over dt}(t, v_0) \hspace{2cm} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = {d\over dt}(u_0, t) $$

$$ \diamond $$