Consideriamo un triangolo qualunque (scaleno). Se conosciamo la misura di un lato \( a \) e l'ampiezza di tutti i suoi angoli \( \alpha, \beta, \gamma \) esiste una formula per l'area:


La dimostrazione di questa formula, deriva direttamente dal teorema dei seni e dalla formula per l'area di un triangolo a partire da due lati e l'angolo compreso (vista in precedenza):

Supponiamo di conoscere solo il lato \( a\). Dal teorema dei seni sappiamo che: $$ {a \over sin\alpha} = {c \over sin\gamma} $$ quindi possiamo ricavare l'altro lato \( b\) nel modo seguente: $$ c = {a sin\beta \over sin\gamma} $$ A questo punto , siccome conosco due lati \(a\) e \( b\) posso applicare la formula precedente per ricavare l'area: $$ Area = {1\over 2}ac sin(\beta) = {1\over 2} a \overset{c}{\overbrace{a sin\beta \over sin\gamma}} sin(\beta) $$ $$ \downarrow $$ $$ \color{#941746}{\large {1\over 2} {a^2 sin\beta sin\gamma\over sin\alpha}} $$

$$ \diamond $$