Consideriamo la circonferenza goniometrica. Studiamo l'angolo di \( 30°\). Prendiamo un goniometro oppure la squadretta-\(30-60-90\), in essa (come da nome) l'angolo minore è di \( 30°\), riportiamolo sul cerchio.


Anzitutto cerchiamo di esprimere la misura di \( 30°\) in radianti. Ricordando quanto visto all'inizio, attraverso la proporzione fondamentale avremo che: $$ \require{cancel} 30\cdot {\pi\over 180} = \bcancel{30}\cdot {\pi\over \bcancel{180}}_6 = {\pi\over 6} $$ Abbiamo scoperto che un angolo di \( 30°\) misura \( {\pi\over 6}\) radianti. Ora cerchiamo di calcolare il valore di seno, coseno, tangente e cotangente, questi valori corrispondono alle misure ed ai rapporti dei cateti del triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

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La geometria dell'angolo di \( 30°\)

Siccome stiamo cercando le misure dei cateti, possiamo ribaltare per simmetria rispetto all'asse \( x\) il triangolo rettangolo, ottenendo un triangolo equilatero. Siccome la circonferenza è quella goniometrica, conosciamo l'ipotensua (il raggio) pari ad \( 1\). Cosa possiamo dire riguardo ai cateti? Osservate il lato a sinistra: ci siete che per simmetria esso viene diviso in due parti uguali? Ma a cosa corrisponde ciscuna delle due parti? Ovviamente al seno dell'angolo opposto, quindi: $$ sen(30°) = sen\left({\pi\over 6}\right) = {1\over 2} $$ A questo punto ricavare l'altro cateto è un gioco da ragazzi! Infatti posso utilizzare il teorema di pitagora (la prima relazione fondamentale) perchè conosco l'ipotenusa ed un cateto $$ cos^2(30°) + sen^2(30°) = 1 \Rightarrow cos^2(30°) = 1 - sen^2(30°) \Rightarrow cos(30°) = \sqrt{1 - {1\over 4}} = {\sqrt{3}\over 2} $$ $$ sen(30°) = sen\left({\pi\over 6}\right) = {\sqrt{3}\over 2}$$

Tangente e cotangente

Per calcolare i valori di tangente e cotangente bisogna applicare la seconda relazione fondamentale: $$ tan(30°) = tan\left({\pi\over 6}\right) = {sen\left({\pi\over 6}\right)\over cos\left({\pi\over 6}\right)} = {{1\over 2}\over {\sqrt{3}\over 2}} = {1\over 2}{\sqrt 3\over 2} = {1\over \sqrt 3} $$ $$ cotan(30°) = cotan\left({\pi\over 6}\right) = {cos\left({\pi\over 6}\right)\over sen\left({\pi\over 6}\right)} = {{\sqrt{3}\over 2}\over{1\over 2}} = {\sqrt 3\over 2}2 = \sqrt 3 = {1\over tan(30°)} $$

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