Consideriamo la circonferenza goniometrica. Studiamo l'angolo di \( 45°\). Prendiamo un goniometro oppure la squadretta-\(45-45-90\), in essa (come da nome) gli angoli minori sono di \( 45°\), riportiamone uno sul cerchio.


Anzitutto cerchiamo di esprimere la misura di \( 45°\) in radianti. Ricordando quanto visto all'inizio, attraverso la proporzione fondamentale avremo che: $$ \require{cancel} 45\cdot {\pi\over 180} = \bcancel{45}\cdot {\pi\over \bcancel{180}}_4 = {\pi\over 4} $$ Abbiamo scoperto che un angolo di \( 45°\) misura \( {\pi\over 4}\) radianti. Ora cerchiamo di calcolare il valore di seno, coseno, tangente e cotangente, questi valori corrispondono alle misure ed ai rapporti dei cateti del triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

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La geometria dell'angolo di \( 45°\)

Consideriamo il triangolo delle proiezioni: Esso è un triangolo rettangolo, perchè c'è un angolo di \( 90°\) - inoltre siccome l'angolo al centro \( \alpha = 45° \) per le proprietà dei triangoli della geometria euclidea piana la somma degli angoli deve essere \( 180°\), quindi anche l'angolo superiore deve essere \( 45°\). Morale: il triangolo è isoscele e quindi le lunghezze dei cateti sono eguali in particolare: $$ sen(45°) = cos(45°) $$ Ora possiamo applicare il teorema di pitagora, infatti l'ipotenusa vale \( 1\) (raggio del cerchio trigonomtrico) mentre i cateti sono eguali, supponiamo di sostituire \( sen \) al posto di \( cos\): $$ 1 = sen^2(45°) + sen^2(45) \Rightarrow 2sen^2(45°) = 1 \Rightarrow sen(45°) = {1\over \sqrt 2} $$ $$ sen(45°) = cos(45°) = {1\over \sqrt 2} $$ A questo punto abbiamo terminato il calcolo. Se vogliamo, possiamo razionalizzare la radice al denominatore ottenendo un risultato del tutto equivalente: $$ {1\over \sqrt 2} {\sqrt 2 \over \sqrt 2} = {\sqrt 2 \over \sqrt 2 \sqrt 2} = {\sqrt 2 \over 2} $$

Tangente e cotangente

Per calcolare i valori di tangente e cotangente bisogna applicare la seconda relazione fondamentale, ma il risultato è triviale, essendo tangente e cotangente rapporti di eno e coseno il risultato è \( 1\): $$ tan(45°) = tan\left({\pi\over 4}\right) = 1 \hspace{1cm} cotan(45°) = cotan\left({\pi\over 4}\right) = 1 $$

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