Come ricorderai dal grafico delle formule, quelle di bisezione si possono ricavare conoscendo le formule di duplicazione. Ma qui il discorso è ancora più semplice! Perchè conoscendo le due formule di bisezione per il seno ed il coseno ed unendo queste dua alla seconda relazione fondamentale si può ricavare la formula più semplicemente. Ricordiamoci quindi le due formule di bisezione di seno e coseno
$$ sen\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}} $$
$$ cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} $$

E la seconda relazione fondamentale:

$$ cos^2(\alpha) + sen^2(\alpha) = 1 $$
quindi si ha:
$$ tan\left( \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}} }{\pm \sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} } = \pm \sqrt{ \frac{1-cos(\alpha)}{2} \cdot \frac{2}{1+cos(\alpha)}} $$ $$ tan\left( \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}} }{\pm \sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} } = $$ $$ = \pm \sqrt{ \frac{1-cos(\alpha)}{2} \cdot \frac{2}{1+cos(\alpha)}} $$ $$ tan\left( \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}} }{\pm \sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}} $$ $$ = \pm \sqrt{\frac{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} } = $$ $$ = \pm \sqrt{ \frac{1-cos(\alpha)}{2} \cdot \frac{2}{1+cos(\alpha)}} $$

Ed infine otteniamo la formula di bisezione della tangente
$$ tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}} $$
$$ \diamond $$