Le formule di Briggs mostrano l'intimo legame tra goniometria e trigonometria. Esse legano le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente ecc, ai lati di un triangolo. Sono estremamente potenti nelle applicazioni geometriche. Un modo per dimostrarle è utilizzare il Teorema di Carnot e le Formule di bisezione. Si perviene quindi alla famosa "tripletta di Briggs" per ciascun angolo di un triangolo:

Formule di Briggs per l'angolo \( \color{#008080}{\alpha} \)

$$ sen\left({\color{#008080}{\alpha}\over 2}\right) = \sqrt{(p-b)(p-c)\over bc} $$ $$ cos\left({\color{#008080}{\alpha}\over 2}\right) = \sqrt{p(p-a)\over bc} $$ $$ tan\left({\color{#008080}{\alpha}\over 2}\right) = \sqrt{(p-b)(p-c)\over p(p-a)} $$

Formule di Briggs per l'angolo \( \color{#800080}{\beta} \)

$$ sen\left({\color{#800080}{\beta}\over 2}\right) = \sqrt{(p-a)(p-c)\over ac} $$ $$ cos\left({\color{#800080}{\beta}\over 2}\right) = \sqrt{p(p-b)\over bc} $$ $$ tan\left({\color{#800080}{\beta}\over 2}\right) = \sqrt{(p-a)(p-c)\over p(p-b)} $$

Formule di Briggs per l'angolo \( \color{#808000}{\gamma} \)

$$ sen\left({\color{#808000}{\gamma}\over 2}\right) = \sqrt{(p-a)(p-b)\over bc} $$ $$ cos\left({\color{#808000}{\gamma}\over 2}\right) = \sqrt{p(p-c)\over ab} $$ $$ tan\left({\color{#808000}{\gamma}\over 2}\right) = \sqrt{(p-a)(p-b)\over p(p-c)} $$

Dove \( p = {a+b+c\over 2} \) è il semiperimetro del triangolo.

$$ \diamond $$