Il paradosso dei due bambini

Quando l'intuito inganna

di Loris Fato
16/08/2018

Il paradosso dei due bambini

Quando l'intuito inganna

di Loris Fato
16/08/2018

Il paradosso dei due bambini

Quando l'intuito inganna

di Loris Fato
16/08/2018

Il paradosso dei due bambini è un famoso quasito della teoria della probabilità, abbastanza semplice che in realtà nasconde una ambiguità, che porta ad una risposta contraria alla "logica comune" .
Venne proposto da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American. La formulazione è la seguente: Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?
Intuitivamente, visto che uno dei due è maschio, la probabilità che l'altro sia maschio è del 50%, in quanto sappiamo bene che una persona può essere o maschio o femmina.
Questa risposta ovviamente è errata. Come fece notare l'autore stesso, il quesito è posto in maniera ambigua. La risposta esatta infatti risulta del 33.3%. $$ \diamond\diamond\diamond $$
Soluzione del problema

Prendiamo due bambini qualsiasi. E' facile convincersi che si posono verificare quattro casi :
Caso 1 : entrambi i bambini sono femmina;
Caso 2 : il primo bambino è maschio, il secondo femmina;
Caso 3 : il primo bambino è femmina, il secondo maschio;
Caso 4 : entrambi i bambini sono maschi

La prima ipotesi, entrambe femmine, nel nostro quesito non si può considerare, in quanto almeno uno dei due è maschio.
Sono rimaste dunque tre possibilità. L'unica che ci interessa è proprio quella dove abbiamo entrambi maschio, cioè il caso 4.
Abbiamo tre casi possibili e un solo caso risulta favorevole. La probabilità è dunque del 33.3%, cioè \(\frac{1}{3}\).



$$ \diamond\diamond\diamond $$
Un'altra formulazione....

Esiste una formulazione del problema dove invece la probabilità risulta proprio del 50%?. Ovviamente si!
Il signor Smith ha due bambini. Il primo è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?
In questo caso, dei quattro scenari trattati prima, solo il secondo e il quarto sono validi, cioè dove il primo bambino è maschio. Abbiamo dunque due casi possibili e uno solo favorevole. Magicamente, adesso, la probabilità è del 50%.
Questo paradosso ci fa capire che molto spesso l'inganno sta proprio nell'esposizione del problema. Abbiamo visto infatti che basta cambiare una semplice parola per cambiare totalmente il risultato finale.






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