Le Equazioni di Cauchy-Riemann

Le equazioni di Cauchy-Riemann rappresentano un criterio fondamentale per determinare se una funzione complessa \( f(z) \) è differenziabile in senso complesso, e quindi analitica. Queste equazioni stabiliscono una relazione tra le derivate parziali delle componenti reale e immaginaria di \( f(z) \), fornendo una connessione profonda tra il calcolo differenziale e l’analisi complessa.

Definizione

Supponiamo di avere una funzione complessa:

\[ f(z) = u(x, y) + iv(x, y), \]

dove:

  • \( u(x, y) \) è la parte reale della funzione,
  • \( v(x, y) \) è la parte immaginaria della funzione.

Le variabili \( x \) e \( y \) rappresentano rispettivamente la parte reale e immaginaria del numero complesso \( z \), con \( z = x + iy \).

Le equazioni di Cauchy-Riemann affermano che affinché \( f(z) \) sia differenziabile in \( z_0 = x_0 + iy_0 \), devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]

In altre parole, le derivate parziali della parte reale e immaginaria della funzione devono essere coordinate in un modo molto specifico.

Interpretazione Geometrica

Le equazioni di Cauchy-Riemann garantiscono che una funzione \( f(z) \) preservi la struttura angolare nel piano complesso, una proprietà nota come conformalità. Se queste condizioni sono soddisfatte, la funzione preserva gli angoli e le forme locali, rendendola estremamente regolare e prevedibile.

Condizioni per l’applicazione

Affinché le equazioni di Cauchy-Riemann siano applicabili, è necessario che le derivate parziali \( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y} \) esistano e siano continue in un intorno del punto \( z_0 \).

Esempi

1. La funzione \( f(z) = z^2 \)

Consideriamo \( f(z) = z^2 \). Scriviamo la funzione esplicitamente in termini di \( x \) e \( y \):

\[ f(z) = (x + iy)^2 = x^2 – y^2 + i(2xy). \]

Quindi, abbiamo:

  • \( u(x, y) = x^2 – y^2 \),
  • \( v(x, y) = 2xy \).

Calcoliamo le derivate parziali:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x, \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y. \]

Poiché:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, \]

le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte ovunque nel piano complesso. Pertanto, \( f(z) = z^2 \) è analitica dappertutto.

2. La funzione \( f(z) = \overline{z} \)

Consideriamo ora \( f(z) = \overline{z} \), il coniugato complesso di \( z \). In termini di \( x \) e \( y \):

\[ f(z) = x – iy. \]

Quindi, abbiamo:

  • \( u(x, y) = x \),
  • \( v(x, y) = -y \).

Calcoliamo le derivate parziali:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1, \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0. \]

Poiché:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}, \]

le equazioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte. Pertanto, \( f(z) = \overline{z} \) non è analitica in nessun punto.

Conclusione

Le equazioni di Cauchy-Riemann sono uno strumento fondamentale per analizzare la differenziabilità complessa. Rivelano la profonda connessione tra le componenti reale e immaginaria di una funzione e permettono di verificare rapidamente l’analiticità di una funzione in un punto. Tuttavia, soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann è una condizione necessaria ma non sufficiente: serve anche la continuità delle derivate parziali per garantire che la funzione sia effettivamente analitica.