Le Equazioni di Cauchy-Riemann
Le equazioni di Cauchy-Riemann rappresentano un criterio fondamentale per determinare se una funzione complessa \( f(z) \) è differenziabile in senso complesso, e quindi analitica. Queste equazioni stabiliscono una relazione tra le derivate parziali delle componenti reale e immaginaria di \( f(z) \), fornendo una connessione profonda tra il calcolo differenziale e l’analisi complessa.
Definizione
Supponiamo di avere una funzione complessa:
\[ f(z) = u(x, y) + iv(x, y), \]
dove:
- \( u(x, y) \) è la parte reale della funzione,
- \( v(x, y) \) è la parte immaginaria della funzione.
Le variabili \( x \) e \( y \) rappresentano rispettivamente la parte reale e immaginaria del numero complesso \( z \), con \( z = x + iy \).
Le equazioni di Cauchy-Riemann affermano che affinché \( f(z) \) sia differenziabile in \( z_0 = x_0 + iy_0 \), devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
In altre parole, le derivate parziali della parte reale e immaginaria della funzione devono essere coordinate in un modo molto specifico.
Interpretazione Geometrica
Le equazioni di Cauchy-Riemann garantiscono che una funzione \( f(z) \) preservi la struttura angolare nel piano complesso, una proprietà nota come conformalità. Se queste condizioni sono soddisfatte, la funzione preserva gli angoli e le forme locali, rendendola estremamente regolare e prevedibile.
Condizioni per l’applicazione
Affinché le equazioni di Cauchy-Riemann siano applicabili, è necessario che le derivate parziali \( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y} \) esistano e siano continue in un intorno del punto \( z_0 \).
Esempi
1. La funzione \( f(z) = z^2 \)
Consideriamo \( f(z) = z^2 \). Scriviamo la funzione esplicitamente in termini di \( x \) e \( y \):
\[ f(z) = (x + iy)^2 = x^2 – y^2 + i(2xy). \]
Quindi, abbiamo:
- \( u(x, y) = x^2 – y^2 \),
- \( v(x, y) = 2xy \).
Calcoliamo le derivate parziali:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x, \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y. \]
Poiché:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, \]
le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte ovunque nel piano complesso. Pertanto, \( f(z) = z^2 \) è analitica dappertutto.
2. La funzione \( f(z) = \overline{z} \)
Consideriamo ora \( f(z) = \overline{z} \), il coniugato complesso di \( z \). In termini di \( x \) e \( y \):
\[ f(z) = x – iy. \]
Quindi, abbiamo:
- \( u(x, y) = x \),
- \( v(x, y) = -y \).
Calcoliamo le derivate parziali:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1, \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0. \]
Poiché:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}, \]
le equazioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte. Pertanto, \( f(z) = \overline{z} \) non è analitica in nessun punto.
Conclusione
Le equazioni di Cauchy-Riemann sono uno strumento fondamentale per analizzare la differenziabilità complessa. Rivelano la profonda connessione tra le componenti reale e immaginaria di una funzione e permettono di verificare rapidamente l’analiticità di una funzione in un punto. Tuttavia, soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann è una condizione necessaria ma non sufficiente: serve anche la continuità delle derivate parziali per garantire che la funzione sia effettivamente analitica.