Campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche

Supponiamo ora di voler calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione continua, cioè da un corpo carico, non più da una singola carica o da un insieme discreto di cariche puntiformi. Come possiamo risolvere questo problema? Possiamo immaginare di suddividere il corpo in una infinità di cubetti. Di ciascun cubetto definirne la carica ed il volume e poi calcolare il campo come il contributo di tutti i cubetti. Questo modo di procedere è basato sul concetto di integrazione, possiamo quindi definire il campo elettrico come: $$ \vec E = {1\over 4\pi\epsilon_0}\int_{\Omega}{\mathrm \rho(x', y', z')d\tau' \over |\vec r' - \vec r|^3} (\vec r' - \vec r) $$ Dove \( \rho(x, y, z) \) è una funzione di tre variabili che misura la densita volumetrica di carica, cioè quanta carica possiede il singolo cubetto, mentre \( d\tau = dxdydz\) rappresenta il volume del cubetto. Il prodotto: $$ \rho(x', y', z')d\tau' $$ Rappresenta la carica di un cubetto generico. Osservate che il modo di procedere del calcolo dell'integrale di cui sopra è lo stesso del caso discreto $$ E_x = \langle \vec E, \hat i \rangle = {1\over 4\pi\epsilon_0}\int_{\Omega}{\mathrm \rho(x', y', z')d\tau' \over |x' - x|^3} (x' - x) \\ E_y = \langle \vec E, \hat i \rangle = {1\over 4\pi\epsilon_0}\int_{\Omega}{\mathrm \rho(x', y', z')d\tau' \over |y' - y|^3} (y' - y) \\ E_z = \langle \vec E, \hat i \rangle = {1\over 4\pi\epsilon_0}\int_{\Omega}{\mathrm \rho(x', y', z')d\tau' \over |z' - z|^3} (z' - z) $$
$$ \diamond\diamond\diamond $$
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