Prodotto scalare
Componenti cartesiane

Consideriamo due vettori espressi in componenti cartesiane $$ \vec{v_1}=v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k} $$ $$ \vec{v_2}=v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k} $$ Possiamo scrivere che $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k})\cdot(v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k})\cdot(v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k})\cdot$$ $$\cdot(v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k}) $$ Questo prodotto lo si svolge usando le regole di un prodotto classico che si incontra nell’algebra, si moltiplica ogni termine del primo vettore per tutti i termini del secondo vettore, poi si esegue la somma di tutti i vari prodotti.
Ricordiamo che il prodotto scalare è una operazione che si svolge tra vettori, quindi separerò direttamente i numeri dai vettori $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\cdot \widehat{i})+(v_{1x}v_{2y})(\widehat{i}\cdot \widehat{j})+(v_{1x}v_{2z})(\widehat{i}\cdot \widehat{k})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\cdot \widehat{i})+(v_{1y}v_{2y})(\widehat{j}\cdot \widehat{j})+$$ $$+(v_{1y}v_{2z})(\widehat{j}\cdot \widehat{k})+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{k}\cdot \widehat{i})+(v_{1z}v_{2y})(\widehat{k}\cdot \widehat{j})+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\cdot \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\cdot \widehat{i})+(v_{1x}v_{2y})(\widehat{i}\cdot \widehat{j})+$$ $$+(v_{1x}v_{2z})(\widehat{i}\cdot \widehat{k})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\cdot \widehat{i})+(v_{1y}v_{2y})(\widehat{j}\cdot \widehat{j})+$$ $$+(v_{1y}v_{2z})(\widehat{j}\cdot \widehat{k})+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{k}\cdot \widehat{i})+(v_{1z}v_{2y})(\widehat{k}\cdot \widehat{j})+$$ $$+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\cdot \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\cdot \widehat{i})+(v_{1x}v_{2y})(\widehat{i}\cdot \widehat{j})+$$ $$+(v_{1x}v_{2z})(\widehat{i}\cdot \widehat{k})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\cdot \widehat{i})+$$ $$+(v_{1y}v_{2y})(\widehat{j}\cdot \widehat{j})+(v_{1y}v_{2z})(\widehat{j}\cdot \widehat{k})+$$ $$+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{k}\cdot \widehat{i})+(v_{1z}v_{2y})(\widehat{k}\cdot \widehat{j})+$$ $$+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\cdot \widehat{k}) $$ Ricordiamo il fatto che \(\widehat{i}\), \(\widehat{j}\) e \(\widehat{k}\) sono i versori degli assi cartesiani x, y e z, inoltre per come sono costruiti ogni asse è perpendicolare agli altri due.
Per queste ragioni possiamo sicuramente scrivere che $$ \widehat{i}\cdot \widehat{j}=\widehat{i}\cdot \widehat{k}=\widehat{j}\cdot \widehat{k}=\widehat{j}\cdot \widehat{i}=\widehat{k}\cdot \widehat{i}=\widehat{k}\cdot \widehat{j}=0 $$ $$ \widehat{i}\cdot \widehat{j}=\widehat{i}\cdot \widehat{k}=\widehat{j}\cdot \widehat{k}=\widehat{j}\cdot \widehat{i}=\widehat{k}\cdot \widehat{i}=\widehat{k}\cdot \widehat{j}=0 $$ $$ \widehat{i}\cdot \widehat{j}=\widehat{i}\cdot \widehat{k}=\widehat{j}\cdot \widehat{k}=\widehat{j}\cdot \widehat{i}=$$ $$=\widehat{k}\cdot \widehat{i}=\widehat{k}\cdot \widehat{j}=0 $$ Inoltre essendo ogni versore parallelo a se stesso, l’angolo che forma con se stesso è 0 per cui $$ \widehat{i}\cdot \widehat{i}=\widehat{j}\cdot \widehat{j}=\widehat{k}\cdot \widehat{k}=1 $$ Utilizzando i ragionamenti appena fatti, dalla formula del prodotto scalare (con le coordinate cartesiane) si vede che in realtà rimangono soltanto tre termini, infatti gli altri sei sono nulli.
In definitiva abbiamo che $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\cdot \widehat{i})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\cdot \widehat{i})+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\cdot \widehat{k})=v_{1x}v_{2x}+v_{1y}v_{2y}+v_{1z}v_{2z} $$ $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\cdot \widehat{i})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\cdot \widehat{i})+$$ $$+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\cdot \widehat{k})=v_{1x}v_{2x}+v_{1y}v_{2y}+v_{1z}v_{2z} $$ $$ \vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\cdot \widehat{i})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\cdot \widehat{i})+$$ $$+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\cdot \widehat{k})=v_{1x}v_{2x}+v_{1y}v_{2y}+v_{1z}v_{2z} $$
Isaac insegna
La formula finale è facile da ricordare, infatti per calcolare il prodotto scalare non dovete fare altro che moltiplicare tra di loro le componenti lungo x sommando il risultato al prodotto tra le componenti lungo y sommando nuovamente il risultato al prodotto tra le componenti lungo z.
Galileo ti osserva
Questa formula vale solo se i versori sono ortonormali cioè sono ortogonali tra loro (\(\widehat{i}\cdot \widehat{j}=0\)....) e normalizzati a 1 (\(\widehat{i}\cdot \widehat{i}=1....\)).
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