Prodotto misto

Fino ad adesso abbiamo parlato di prodotto scalare e di prodotto vettoriale. In entrambi i casi, l'operazione è stata svolta tra due vettori.
Cosa succede se incontriamo tre vettori moltiplicati tra loro scalarmente o vettorialmente?
Si parla in questo caso di prodotto misto, che rappresenta una espressione in cui troviamo prodotti scalari e vettoriali contemporaneamente.

Prodotto triplo

Il prodotto triplo è una espressione in cui compare un prodotto scalare e un prodotto vettoriale tra tre vettori, ad esempio $$ (\vec{A}\times\vec{B})\cdot \vec{C} $$ Vista la presenza del prodotto scalare come operazione finale, il risultato sarà sicuramente uno scalare.
Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine, sia dei vettori, sia delle due operazioni.
In particolare, si può dimostrare che vale la seguente relazione $$ (\vec{A}\times\vec{B})\cdot \vec{C}=(\vec{B}\times\vec{C})\cdot \vec{A}=(\vec{C}\times\vec{A})\cdot \vec{B} $$ $$ (\vec{A}\times\vec{B})\cdot \vec{C}=(\vec{B}\times\vec{C})\cdot \vec{A}=(\vec{C}\times\vec{A})\cdot \vec{B} $$ $$ (\vec{A}\times\vec{B})\cdot \vec{C}=(\vec{B}\times\vec{C})\cdot \vec{A}=$$ $$=(\vec{C}\times\vec{A})\cdot \vec{B} $$
Doppio prodotto vettoriale

Il doppio prodotto vettoriale è una espressione in cui compaiono due o più prodotti vettoriali. In questo corso di fisica verrà trattata l'espressione con due prodotti vettoriali.
Questo tipo di operazione si può trasformare in vari prodotti misti dove abbiamo al massimo un prodotto vettoriale.
Consideriamo la seguente espressione $$ \vec{A}\times\vec{B}\times\vec{C} $$ Si può dimostrare che $$ \vec{A}\times\vec{B}\times\vec{C}=\vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}) $$ $$ \vec{A}\times\vec{B}\times\vec{C}=\vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}) $$ $$ \vec{A}\times\vec{B}\times\vec{C}=\vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A})-$$ $$-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}) $$
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