Prodotto scalare
Proprietà

Il prodotto scalare gode di alcune proprietà:
Commutatività: \(\vec{V_1}\cdot \vec{V_2}=\vec{V_2}\cdot \vec{V_1}\)
Omogeneità: \((a\vec{V_1})\cdot \vec{V_2}=a(\vec{V_1}\cdot \vec{V_2})\)
Distributività rispetto alla somma : \(\vec{V_1}\cdot( \vec{V_2}+ \vec{V_3})=\vec{V_1}\cdot \vec{V_2}+\vec{V_1}\cdot \vec{V_3}\)
Il prodotto scalare serve per verificare se due vettori sono perpendicolari, infatti se \(\vec{V_1}\) è perpendicolare a \(\vec{V_2}\) l’angolo \(\theta\) è di \(90^{\circ}\) per cui si ha $$ \vec{V_1}\cdot \vec{V_2}=V_1\cdot V_2 \cdot cos90^{\circ} $$ Ma il \(cos90^{\circ}\) è zero, dunque $$ \vec{V_1}\cdot \vec{V_2}=0 $$ Possiamo concludere che se due vettori sono perpendicolari allora il loro prodotto scalare è 0, vale anche il viceversa, cioè se il loro prodotto scalare è 0 allora sono perpendicolari.
Per come è definito il prodotto scalare si vede subito che, essendo il modulo di \(V_1\) e \(V_2\) quantità sempre positive il segno di tale prodotto dipende dal valore dell’angolo \(\theta\).
Infatti possiamo distinguere due casi:
Numero1: \(\vec{V_1}\cdot \vec{V_2}>0 \Leftrightarrow cos\theta >0 \Leftrightarrow 0\leq \theta< \frac{\pi}{2}\)
Numero2: \(\vec{V_1}\cdot \vec{V_2}< 0 \Leftrightarrow cos\theta < 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}< \theta\leq \pi\)
Nel primo caso abbiamo un angolo acuto, nel secondo un angolo ottuso. Consideriamo un vettore \(\vec{V}\). Proviamo a calcolare il prodotto scalare con se stesso $$ \vec{V}\cdot \vec{V}=|\vec{V}||\vec{V}|cos\theta $$ L'angolo che un qualsiasi vettore forma con se stesso è sempre 0, dunque $$ \vec{V}\cdot \vec{V}=|\vec{V}||\vec{V}|cos0^{\circ}=V^2 $$
Isaac insegna
Il quadrato del modulo di un qualsiasi vettore è sempre pari al prodotto scalare del vettore per se stesso.
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