Prodotto vettoriale
Proprietà

Il prodotto vettoriale gode di alcune proprietà:
Anticommutatività: \(\vec{V_1}\times \vec{V_2}=-\vec{V_2}\times \vec{V_1}\)
Omogeneità: \((a\vec{V_1})\times \vec{V_2}=a(\vec{V_1}\times \vec{V_2})\)
Distributività rispetto alla somma: \(\vec{V_1}\times( \vec{V_2}+ \vec{V_3})=\vec{V_1}\times \vec{V_2}+\vec{V_1}\times \vec{V_3}\)
La proprietà anticommutativa può essere verificata usando la regola della mano destra, infatti se si inverte l’ordine dei vettori il verso è opposto.
Isaac ti osserva
State bene attenti perchè la proprietà anticommutativa può portare a degli errori. Quando si ha a che fare con prodotti vettoriali tra più vettori, bisogna rispettare l'ordine dei vettori, infatti non vale la proprietà associativa, cioè $$ (\vec{V_1}\times \vec{V_2})\times \vec{V_3}\neq \vec{V_1}\times (\vec{V_2}\times\vec{V_3}) $$ $$ (\vec{V_1}\times \vec{V_2})\times \vec{V_3}\neq \vec{V_1}\times (\vec{V_2}\times\vec{V_3}) $$ $$ (\vec{V_1}\times \vec{V_2})\times \vec{V_3}\neq \vec{V_1}\times (\vec{V_2}\times\vec{V_3}) $$ Se notate anche nella proprietà distributiva abbiamo rispettato l'ordine dei vettori.
Il prodotto vettoriale serve per verificare se due vettori sono paralleli o antiparalleli, infatti se \(\vec{V_1}\) è parallelo a \(\vec{V_2}\) l’angolo \(\theta\) è di \(0^{\circ}\) per cui si ha $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=V_1\cdot V_2 \cdot sin0^{\circ} $$ Ma il \(sin0^{\circ}\) è zero, dunque $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=0 $$ Se \(\vec{V_1}\) è antiparallelo a \(\vec{V_2}\) l’angolo \(\theta\) è di \(180^{\circ}\) per cui si ha $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=V_1\cdot V_2 \cdot sin180^{\circ} $$ Ma il \(sin180^{\circ}\) è zero, dunque $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=0 $$ Possiamo concludere che se due vettori sono paralleli o antiparalleli allora il loro prodotto vettoriale è 0, vale anche il viceversa, cioè se il loro prodotto vettoriale è 0 allora sono paralleli o antiparalleli.
Consideriamo un vettore \(\vec{V}\). Proviamo a calcolare il prodotto vettoriale con se stesso $$ \vec{V}\times \vec{V}=|\vec{V}||\vec{V}|sin\theta $$ L'angolo che un qualsiasi vettore forma con se stesso è sempre 0, dunque $$ \vec{V}\times \vec{V}=|\vec{V}||\vec{V}|sin0^{\circ}=0 $$
Isaac insegna
Il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è sempre nullo.
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