Rappresentazione cartesiana di un vettore

Consideriamo un sistema di assi cartesiani nel piano e consideriamo un vettore che parte dall'origine degli assi

Tale vettore si può scomporre lungo l'asse x e lungo l'asse y, si effettua una proezione. Questa operazione darà origine ad una componente x e y del vettore \(\vec{v}\)

Ovviamente la somma di tali componenti ci restituirà il vettore di partenza, cioè $$ \vec{v}=\vec{v_x}+\vec{v_y} $$ Sfruttiamo adesso il concetto di versore, disegnando quelli lungo gli assi

In questo dunque il versore \(\widehat{i}\) ha la stessa direzione di x, mentre \(\widehat{j}\) ha la stessa direzione di y. Questi prendono il nome di versori degli assi cartesiani. Esiste anche il versore dell'asse z e si indica con \(\widehat{k}\).
Sfruttando la scrittura vista nel capitolo sui versori, possiamo scrivere le componenti del vettore \(\vec{v}\) nel seguente modo $$ \vec{v_x}=v_x \widehat{i} $$ $$ \vec{v_y}=v_y \widehat{j} $$ Ed ecco che otteniamo la rappresentazione cartesiana del vettore \(\vec{v}\), cioè $$ \vec{v}=v_x \widehat{i}+v_y \widehat{j} $$ In tre dimensioni otteniamo $$ \vec{v}=v_x \widehat{i}+v_y\widehat{j}+v_z \widehat{k} $$ Dalle componenti cartesiane, si può calcolare facilmente il modulo di un vettore, mediante una estensione in 3 dimensioni del teorema di Pitagora, cioè $$ |\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} $$
Galileo ti mostra degli esempi
Esempio 1

Consideriamo il seguente vettore

In questo caso risulta dal grafico che $$ \vec{v_x}=2.5 \widehat{i} $$ $$ \vec{v_y}=2.5 \widehat{j} $$ $$ \vec{v_z}=0 \widehat{k} $$ Dunque $$ \vec{v}=2.5 \widehat{i}+2.5 \widehat{j} $$
Esempio 2

Consideriamo il seguente vettore

In questo caso la componente x è negativa in quanto opposta al verso dell'asse x $$ \vec{v_x}=-3 \widehat{i} $$ $$ \vec{v_y}=2.5 \widehat{j} $$ Dunque $$ \vec{v}=-3 \widehat{i}+2.5 \widehat{j} $$
Esempio 3

Consideriamo il seguente vettore

In questo caso sia la componente x che quella y sono negative, oppure ai versi degli assi, dunque $$ \vec{v}=-2 \widehat{i}-2 \widehat{j} $$
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