Derivata di una funzione

Prendiamo un sistema di assi cartesiani. Costruiamo una funzione e il suo rapporto incrementale, prendendo un punto di partenza \(x_{0}\)

Teniamo ora fermo il punto \(x_{0}\) a variamo \(\Delta x\). Quello che succede è che la pendenza del segmento che unisce i due punti cambia, come mostrato in figura
Visto che \(x_{0}\) è stato deciso, il rapporto incrementale dipende da \(\Delta x\).
Più \(\Delta x\) dimunuisce, più la pendenza del segmento aumenta, si ha una rotazione intorno al punto \(x_{0}\), finchè non si assesta ad un segmento che coincide con la derivata.
In particolare, quando \(\Delta x\) si avvicina a 0, si ha che il secondo punto \(x_{0}+\Delta x\) tenderà sempre di più ad avvicinarsi a \(x_{0}\), fino a coincidere. In formule $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} $$ La derivata rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva \(f(x)\) nel punto \([x_{0},f(x_{0})]\).
Rappresenta una funzione che dipende dal valore \(x_{0}\) che abbiamo scelto. Si può indicare in diversi modi: $$ f'(x_{0}) $$ $$ \frac{df}{dx}\mid _{x=x_{0}} $$ La seconda scrittura sta ad indicare la derivata della funzione \(f\) rispetto ad \(x\), calcolata nel punto \(x_{0}\). Si può scrivere direttamente $$ \frac{df}{dx} $$ però si perde il riferimento al punto \(x_{0}\).
Vediamo adesso qualche esempio di calcolo della derivata.
ESEMPIO 1
Consideriamo la seguente funzione \(y=f(x)=Ax^2\)
Vogliamo calcolare la derivata in x della funzione appena citata. Calcoliamo per prima cosa il rapporto incrementale $$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ Dobbiamo adattare questa formula alla nostra funzione. La \(f(x+\Delta x)\) è semplicemente la funzione \(Ax^2\) dove al posto della \(x\) mettiamo \(x+\Delta x\). Abbiamo dunque $$ \frac{A(x+\Delta x)^2-Ax^2}{\Delta x} $$ La \(A\) è una costante, cioè non dipende dalla \(x\), quindi la possiamo mettere in evidenza. $$ A \cdot [\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}] $$ $$ A \cdot [\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}] $$ Distribuiamo il denominatore a due frazioni $$ \frac{2A x \Delta x}{\Delta x}+\frac{A \Delta x^2}{\Delta x}=2Ax+A\Delta x $$ Come si può notare, il risultato finale dipende solo dal punto iniziale \(x\) e da \(\Delta x\). Calcoliamo il limite di questo rapporto incrementale $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}(2Ax+A\Delta x) $$ Questo limite si calcola "semplicemente" sostituendo il valore 0 a \(\Delta x\), quindi $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}(2Ax+A\Delta x)=2Ax $$ Chiaramente \(2Ax\) rappresenta la derivata di \(Ax^2\) in un punto generico.
ESEMPIO 2
Consideriamo la seguente funzione \(y=f(x)=Ax^3\) Vogliamo calcolare la derivata in x. Calcoliamo per prima cosa il rapporto incrementale $$ \frac{A(x+\Delta x)^3-Ax^3}{\Delta x} $$ $$ A \cdot [\frac{x^3+3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3-x^3}{\Delta x}]=A3x^2+A3x\Delta x $$ Calcoliamo il limite di questo rapporto incrementale $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}(A3x^2+A3x\Delta x)=A3x^2 $$ Quindi la derivata della funzione \(Ax^3\) si può scrivere come $$ \frac{d}{dx}(Ax^3)=A3x^2 $$ Dove \(\frac{d}{dx}\) si chiama operatore di derivata, il quale unito ad una funzione ne indica la derivata.
Quando \(\Delta x \mapsto 0\), sia \(A3x\Delta x\) che \(A\Delta x^2\) vanno a 0, ma \(\Delta x^2\) si dice essere un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(\Delta x\).
In altri termini \(\Delta x^2\) va più velocemente a 0 rispetto a \(\Delta x\).

Derivate delle funzioni elementari

Calcoliamo la derivata di un paio di funzioni elementari.
\(y=f(x)=A\)
Calcoliamo il rapporto incrementale $$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ Essendo \(A\) una funzione costante si ha che \(f(x+\Delta x)=A\), dunque $$ \frac{A-A}{\Delta x}=0 $$ Facendo il limite otteniamo sempre 0. Concludiamo che la derivata di una funzione costante è nulla. $$ \frac{dA}{dx}=0 $$
\(y=f(x)=x\)
Calcoliamo il rapporto incrementale $$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ $$ \frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 $$ Facendo il limite otteniamo sempre 1. Concludiamo che $$ \frac{dx}{dx}=1 $$
\(y=f(x)=sinx\)
Calcoliamo il rapporto incrementale $$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ $$ \frac{sin(x+\Delta x)-sinx}{\Delta x} $$ Usando la formula della somma del seno, otteniamo che $$ sin(x+\Delta x)=sinx\cdot cos\Delta x+sin\Delta x\cdot cosx $$ Dunque $$ \frac{sinx\cdot cos\Delta x+sin\Delta x\cdot cosx-sinx}{\Delta x} $$ Mettiamo in evidenza \(sinx\) $$ \frac{sinx\cdot( cos\Delta x -1)+sin\Delta x cosx}{\Delta x} $$ Facciamo il limite $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}(\frac{sinx\cdot( cos\Delta x -1)+sin\Delta x cosx}{\Delta x}) $$ Usiamo la proprietà del limite per dividerlo in somma di due limiti $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}(\frac{sinx\cdot( cos\Delta x-1)}{\Delta x})+\lim_{\Delta x \mapsto 0}(\frac{sin\Delta x cosx}{\Delta x}) $$ $$ sinx \cdot \lim_{\Delta x \mapsto 0}(\frac{( cos\Delta x -1)}{\Delta x})=sinx\cdot0=0 $$ $$ cosx \cdot \lim_{\Delta x \mapsto 0}(\frac{sin\Delta x cosx}{\Delta x})=cosx \cdot 1=cosx $$ Concludiamo che $$ \frac{dsinx}{dx}=cosx $$
Tracciamo una mini carrellata delle derivate che si incontrano più spesso in un corso di fisica. $$ \frac{dK}{dx}=0 $$ $$ \frac{dx^n}{dx}=n\cdot x^{n-1} $$ $$ \frac{dlnx}{dx}=\frac{1}{x} $$ $$ \frac{de^x}{dx}=e^x $$ $$ \frac{dsinx}{dx}=cosx $$ $$ \frac{dcosx}{dx}=-sinx $$ $$ \frac{dtgx}{dx}=\frac{1}{cos^2x}=1+tg^2x $$
Formule per il calcolo delle derivate

Se abbiamo una funzione del tipo $$ y=Af(x) $$ La sua derivata sarà $$ \frac{dy}{dx}=A\frac{df}{dx} $$ La \(A\) è una costante rispetto a \(x\). Questa formula deriva dalle proprietà dei rapporti incrementali.
DIMOSTRAZIONE
Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione $$ \frac{A\cdot f(x+\Delta x)-Af(x)}{\Delta x} $$ Mettiamo in evidenza la \(A\) $$ A\cdot [\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}] $$ Sappiamo che il contenuto che sta dentro le parentesi quadre rappresenta il rapporto incrementale di \(f(x)\). Facendo il limite otteniamo la formula di partenza\(\square\)
Vediamo una carrellata di regole di derivazione $$ \frac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x) $$ $$ \frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $$ $$ \frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $$ $$ \frac{d}{dx}(f[g(x)])=f'[g(x)]g'(x) $$
$$ \diamond $$
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