Derivate parziali
In fisica esistono delle grandezze che possono dipendere da più variabili, ad esempio una funzione dipendente dalle variabili x e y
$$ f(x,y) $$
Oppure possiamo incontrare una funzione che dipende da tre variabili
$$ f(x,y,z) $$
Come abbiamo già visto nel capitolo sulle derivate, per una funzione \(f(x)\) abbiamo
$$ \frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x \mapsto 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$
Vogliamo adesso estendere questo concetto a funzioni in più variabili. Partiamo con la costruzione di un grafico per \(f(x,y)\), dove \((x,y)\) è il piano delle variabili indipendenti, mentre la terza dimensione è il valore della funzione.
Come si vede dalla figura, quella che facciamo variare inizialmente è solo la variabile \(x\), mentre la \(y\) rimane invariata. Avremo dunque la funzione \(f(x_{0},y_{0})\) e la funzione \(f(x_{0}+\Delta x,y_{0})\).
Visto che si ha una variazione, possiamo costruire il rapporto incrementale sulla variabile \(x\) $$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x} $$ Questa scrittura rappresenta la variazione di \(f(x,y)\) rispetto a \(x\). Calcoliamo adesso il limite $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x} $$ Questo limite è la derivata parziale di \(f(x,y)\) rispetto a \(x\) nel punto \((x_{0},y_{0})\).
Il simbolo di derivata parziale è \(\partial\), dunque per indicare la derivata parziale rispetto a \(x\) si può scrivere $$ \frac{\partial f}{\partial x} $$ Facciamo la stessa operazione di prima, variando questa volta la \(y\) e mantenendo invariata la \(x\)
La derivata parziale di \(f(x,y)\) rispetto a \(y\) nel punto \((x_{0},y_{0})\) è
$$ \frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \mapsto 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y} $$
Supponiamo di avere una funzione in tre variabili \(f(x,y,z)\). Il procedimento sarà lo stesso.
Se vogliamo calcolare la derivata parziale rispetto a \(z\) dobbiamo tenere ferme la \(x\) e la \(y\). $$ \frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \mapsto 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta x} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \mapsto 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y,z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta y} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial z}=\lim_{\Delta z \mapsto 0}\frac{f(x_{0},y_{0},z_{0}+\Delta z)-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta z} $$ Esiste la possibilità di derivare ulteriormente le derivate parziali, dando origine alle derivate parziali miste. Facciamo subito un esempio pratico per capire il tutto.
Consideriamo la seguente funzione \(f(x,y)=x^4y^2\)
Vogliamo calcolare le derivate parziali. Quando ad esempio la calcoliamo rispetto a \(x\), la variabile \(y\) va considerata come una costante, applicando le regole classiche viste con le derivate. Dunque $$ \frac{\partial f}{\partial x}=4x^3y^2 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=2x^4y $$ Vogliamo derivare nuovamente queste due derivate parziali, ognuna andrà derivata sia rispetto ad \(x\), sia rispetto ad \(y\). Avremo dunque delle derivate seconde. $$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=4\cdot 3x^2y^2=12x^2y^2 $$ La scrittura \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) indica la derivata seconda di \(f\) rispetto a x, quindi la funzione viene derivata due volte rispetto alla variabile \(x\). $$ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2x^4 $$ Questa rappresenta la derivata seconda della funzione \(2x^4y\) rispetto a \(y\).
Calcoliamo adesso le derivate seconde miste, cioè la derivata parziale rispetto a \(x\) deve essere derivata rispetto a \(y\). La derivata parziale rispetto a \(y\), cioè \(2x^4y\) deve invece essere derivata anche rispetto a \(x\). $$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2\cdot 4x^3y $$ $$ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=4\cdot 2x^3y $$
Se la funzione non è patologica, vale il teorema di Schwarz, cioè le derivate seconde miste coincidono
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} $$
ESEMPIO 1
Consideriamo la seguente funzione \(f(x,y)=Kx^2y^2\). Calcoliamo le derivate parziali e le derivate seconde. $$ \frac{\partial f}{\partial x}=2Kxy^2 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=2Kx^2y $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2Ky^2 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2Kx^2 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=2\cdot 2Kxy $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2\cdot 2Kxy $$ Come vedete le derivate seconde miste coincidono.
ESEMPIO 2
Consideriamo la seguente funzione \(f(x,y)=2sinx\cdot y^4\). Calcoliamo le derivate parziali e le derivate seconde. $$ \frac{\partial f}{\partial x}=2cosx\cdot y^4 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=2sinx\cdot 4y^3=8sinx\cdot y^3 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2sinx\cdot y^4 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=8\cdot 3sinx\cdot y^2=24y^2sinx $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=8cosx\cdot y^3 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=8cosx\cdot y^3 $$
Consideriamo una funzione in due variabili \(f(x,y)\). Supponiamo di conoscere la funzione nel punto \((x_{0},y_{0})\).
Quanto vale la funzione nel punto \((x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)\)?
Utilizziamo il teorema di Taylor $$ f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=f(x_{0},y_{0})+[\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y]+\frac{1}{2!}[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Delta x^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\Delta y^2]+..... $$ Ogni derivata parziale viene calcolata nel punto \((x_{0},y_{0})\). Il primo e il secondo pezzo della formula rappresentano la stima lineare. $$ f_{stimalineare}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=f(x_{0},y_{0})+[\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y] $$ In una funzione a tre variabili \(f(x,y,z)\) avremo una stima lineare fatta in questo modo $$ f_{stimalineare}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y,z_{0}+\Delta z)=f(x_{0},y_{0},z_{0})+[\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z] $$
$$ \diamond $$
Visto che si ha una variazione, possiamo costruire il rapporto incrementale sulla variabile \(x\) $$ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x} $$ Questa scrittura rappresenta la variazione di \(f(x,y)\) rispetto a \(x\). Calcoliamo adesso il limite $$ \lim_{\Delta x \mapsto 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x} $$ Questo limite è la derivata parziale di \(f(x,y)\) rispetto a \(x\) nel punto \((x_{0},y_{0})\).
Il simbolo di derivata parziale è \(\partial\), dunque per indicare la derivata parziale rispetto a \(x\) si può scrivere $$ \frac{\partial f}{\partial x} $$ Facciamo la stessa operazione di prima, variando questa volta la \(y\) e mantenendo invariata la \(x\)
Se vogliamo calcolare la derivata parziale rispetto a \(z\) dobbiamo tenere ferme la \(x\) e la \(y\). $$ \frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \mapsto 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta x} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y \mapsto 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y,z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta y} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial z}=\lim_{\Delta z \mapsto 0}\frac{f(x_{0},y_{0},z_{0}+\Delta z)-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta z} $$ Esiste la possibilità di derivare ulteriormente le derivate parziali, dando origine alle derivate parziali miste. Facciamo subito un esempio pratico per capire il tutto.
Consideriamo la seguente funzione \(f(x,y)=x^4y^2\) Vogliamo calcolare le derivate parziali. Quando ad esempio la calcoliamo rispetto a \(x\), la variabile \(y\) va considerata come una costante, applicando le regole classiche viste con le derivate. Dunque $$ \frac{\partial f}{\partial x}=4x^3y^2 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=2x^4y $$ Vogliamo derivare nuovamente queste due derivate parziali, ognuna andrà derivata sia rispetto ad \(x\), sia rispetto ad \(y\). Avremo dunque delle derivate seconde. $$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=4\cdot 3x^2y^2=12x^2y^2 $$ La scrittura \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) indica la derivata seconda di \(f\) rispetto a x, quindi la funzione viene derivata due volte rispetto alla variabile \(x\). $$ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2x^4 $$ Questa rappresenta la derivata seconda della funzione \(2x^4y\) rispetto a \(y\).
Calcoliamo adesso le derivate seconde miste, cioè la derivata parziale rispetto a \(x\) deve essere derivata rispetto a \(y\). La derivata parziale rispetto a \(y\), cioè \(2x^4y\) deve invece essere derivata anche rispetto a \(x\). $$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2\cdot 4x^3y $$ $$ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=4\cdot 2x^3y $$
Esercizi di calcolo
ESEMPIO 1 Consideriamo la seguente funzione \(f(x,y)=Kx^2y^2\). Calcoliamo le derivate parziali e le derivate seconde. $$ \frac{\partial f}{\partial x}=2Kxy^2 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=2Kx^2y $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2Ky^2 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2Kx^2 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=2\cdot 2Kxy $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2\cdot 2Kxy $$ Come vedete le derivate seconde miste coincidono.
ESEMPIO 2 Consideriamo la seguente funzione \(f(x,y)=2sinx\cdot y^4\). Calcoliamo le derivate parziali e le derivate seconde. $$ \frac{\partial f}{\partial x}=2cosx\cdot y^4 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}=2sinx\cdot 4y^3=8sinx\cdot y^3 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2sinx\cdot y^4 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=8\cdot 3sinx\cdot y^2=24y^2sinx $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=8cosx\cdot y^3 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=8cosx\cdot y^3 $$
Teorema di Taylor
Consideriamo una funzione in due variabili \(f(x,y)\). Supponiamo di conoscere la funzione nel punto \((x_{0},y_{0})\).
Quanto vale la funzione nel punto \((x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)\)?
Utilizziamo il teorema di Taylor $$ f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=f(x_{0},y_{0})+[\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y]+\frac{1}{2!}[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Delta x^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\Delta y^2]+..... $$ Ogni derivata parziale viene calcolata nel punto \((x_{0},y_{0})\). Il primo e il secondo pezzo della formula rappresentano la stima lineare. $$ f_{stimalineare}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=f(x_{0},y_{0})+[\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y] $$ In una funzione a tre variabili \(f(x,y,z)\) avremo una stima lineare fatta in questo modo $$ f_{stimalineare}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y,z_{0}+\Delta z)=f(x_{0},y_{0},z_{0})+[\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z] $$
