Logaritmi

Prima di dare la definizione di decibel bisogna fare un salto in algebra elementare e definire il concetto di logaritmo.

Il logaritmo è un'operazione algebrica antichissima, veniva usata (lo è ancor'oggi), per trasformare prodotti in somme e quindi per semplificare i calcoli; solo che oggi con l'avvento dei computers è raro applicare manualmente i metodi dei logaritmi - ci sono le calcolatrici digitali che fanno questo per noi, tuttavia conoscerne le proprietà è indispensabile in molti contesti ingegneristici non meno in acustica ed in ingegneria, dove trova impiego nella definizione di molte grandezze fisiche.


Logaritmo: Definizione

Consideriamo tre numeri \( a, b, c \).

Si dice logaritmo in base \(a \) di \( b \) e si indica \( log_a(b) \), quel numero \(c \) tale per cui \( a^c = b \).
In pratica un logaritmo è un esponente: (conosciamo la base \( a \) ed il risultato dell'esponenziazione \( b \) ma ci manca l'esponente) e per convenzione, lo indichiamo con \( {\large log_a(b) } \). Vediamo qualche esempio numerico:
  • \({\large log_2(8) = 3 } \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} 2^3 = 8 \)
  • \({\large log_2(32) = 5 } \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} 2^5 = 32 \)
  • \({\large log_2(64) = 6 } \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} 2^6 = 64 \)
  • \({\large log_3(9) = 2 } \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} 3^2 = 9 \)
Negli esempi numerici è facile ricavare l'esponente in base ai numeri, me se ad esempio dobbiamo far riferimento all'esponente che messo alla base \( \pi \) mi da come risultato \( \sqrt{2} \) non dobbiamo far altro che indicare il risultato come \( log_{\pi}(\sqrt{2}) \)!...

Naturalmente valgono anche le seguenti regole fondamentali:

\( \bullet \hspace{5mm} log_a(1) = 0 \) \( \hspace{5mm} \) (infatti qualunque numero elevato a 0 da come risultato 1) - per convenzione vale anche \( 0^0 = 1 \)
\( \bullet \hspace{5mm} log_1(b) = 1 \) \( \hspace{5mm} \) (uno elevato a qualunque numero da come risultato sempre 1).


Consideriamo ora la base \( a \). Negli esempi appena visti la base che abbiamo impiegato era \( a > 1 \). In quel caso il logaritmo lo si è visto, cresce seppur lentamente (al crescere dell'argomento), invece quando la base \( 0 < a < 1 \) il logaritmo decresce. In basso ho riportato i grafici della funzione \( f(x) = log(x) \) In entrambi i casi.


Logaritmo a base \( a > 1 \)

Se la base è maggiore di 1, al crescere di essa il grafico del logaritmo tende ad appiattirsi verso l'asse delle ascisse "da sopra" inoltre il logaritmo tende a \( +\infty \) per \( x \rightarrow +\infty \)
e tende a \( -\infty \) per \( x \rightarrow 0^+ \).

Logaritmo a base \( 0 < a < 1 \)

Se la base è compresa tra 0 ed 1, al crescere di essa il grafico tende ad appiattirsi "da sotto" verso l'asse delle ascisse; inoltre il logaritmo tende a \( -\infty \) per \( x \rightarrow +\infty \)
e tende a \( +\infty \) per \( x \rightarrow 0^+ \).

I grafici mostrano un ulteriore proprietà: i logaritmi sono definiti per argomenti positivi, infatti i grafici si trovano a destra dello 0 nel I e nel IV quadrante cartesiano.

$$ {\Large \clubsuit } $$

Concludiamo questa breve presentazione dei logaritmi con alcune proprietà

La terza si può ottenere dalle prime due infatti \( log_a\left(\frac{b}{d}\right) = log_a\left(b \cdot d^{-1} \right) = log_a(b) -1 \cdot log_a(d) \)

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