Risposta in frequenza

Preso un sistema lineare, ossia un modello dinamico (lineare), si dice risposta in frequenza, la sua funzione di trasferimento calcolata nell'origine del piano complesso di Gauss. $$ \mathrm{RS\langle\mathbb S\rangle} := \mathrm G(j\omega) $$

A noi non ci interessa studiare la funzione di trasferimento per sistemi dinamici (in generale). Nell'ambito dell'ingegneria del suono, ci concentriamo solo su particolari sistemi dinamici, ossia quelli che modellano il comportamento (in frequenza) di trasduttori, amplificatori ed apparecchiature varie.

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A che serve la risposta in frequenza

Sostanzialmente, la risposta in frequenza (lo dice il titolo stesso), ci consente di studiare il comportamento di un sistema al variare di un segnale in input (di solito sinusoidale) di frequenza variabile. Il grafico che riporta l'andamento in frequenza - anzi i grafici (sono 2), che riportano l'andamento dell'intensità (in \( dB \)) e la fase (in\( rad \)) in funzione della frequenza (\(Hz\)) sono i Diagrammi di Bode, che vedremo più avanti.

Consideriamo un sistema lineare con applicato un ingresso sinusoidale (armonica elementare) di equazione \( \mathrm A_0 sin(\omega t + \phi) \)

Sistema dinamico lineare

Quando un'armonica elementare attraversa un sistema, la cosa sorprendente, che per i più curiosi la dimostrazione si trova a fondo pagina, è che il sistema non modifica ne la frequenza, ne la pulsazione del segnale, ma ne modifica solo l'ampiezza e la fase. Detto in altri termini, quando mandiamo un segnale in un sistema, quello che può accadere è che esso in uscita può risultare con un volume differente (intensità), o può risultare (sfasato in anticipo o in ritardo). Rappresentiamo matematicamente le due armoniche \( X_{in} \) ed \( X_{out} \) in questo modo: $$ X_{in}(t) = \mathrm A_{0,in} sin(\omega t + \phi_{in}) \hspace{3cm} X_{in}(t) = \mathrm A_{0,out} sin(\omega t + \phi_{out}) $$ Osservate che i due segnali, hanno la stessa frequenza. (ricordatevi la formula: \( \omega = 2\pi f \). Mentre in generale si ha che: $$ \mathrm A_{0,in} \neq \mathrm A_{0,out} \hspace{2cm} \phi_{in} \neq \phi{out} $$

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Come si opera in laboratorio

Supponiamo di disporre di un altoparlante (il nostro sistema). Come possiamo misurarne (in modo rudimentale) la risposta in frequenza? Abbiamo bisogno sostanzialmente di due cose: un generatore di segnali sinusoidali per generare per l'appunto una banda di frequenza (spettro) finito; ad esempio da \( [30 - 2000] Hz\) da mandare in input al nostro altoparlante, e di un Oscilloscopio per graficarne (misurarne l'andamento).

Ripeto, il sistema, in generale (dalla teoria dell'automazione (controlli automatici)) può essere qualsiasi cosa: un circuito, un automa, un amplificatore, un resistore un'antenna ecc, o un trasduttore (nell'esempio). Nella figura ho riportato il circuito per la misura della risposta in frequenza.

Misura della risposta in frequenza


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