Una classe importante di funzioni reali è rappresentata dalle cosiddette funzioni periodiche. Funzioni cioè che hanno un andamento "ripetitivo"; e sono atte a descrivere fenomeni oscillatori come ad esempio le onde del mare, i campi elettromagnetici piuttosto che i fenomeni acustici e/o i fenomeni vibratori. Nel prosieguo mi soffermero solo su alcune di queste funzioni periodiche (quelle dipendenti dal tempo), che in molti contesti specie in ingegneria vengono chiamati segnali tempovarianti.

un segnale \(x(t) \) si dice periodico se soddisfa la relazione:

$$ {\LARGE x(t + T) = x(t) } $$

La relazione matematica risulta abbastanza semplice da interpretare. Con \( T \) si intende un valore costante di tempo speciale detto periodo. Il periodo rappresenta il tempo dopo il quale il segnale si ripete, l'equaizone infatti ci dice che se consideriamo il valore assunto dal segnale al tempo \( t + T \) (se guardiamo cioè al segnale un periodo dopo), questo risulta essere uguale al valore al tempo \( t \) (corrente). Questo significa anzitutto che una funzione periodica non è mai iniettiva e la relazione ne è la prova diretta; ma partiamo per gradi e diamo uno sguardo ad alcuni grafici di funzioni periodiche:


$$ {\large x(t) = cos(2t) }$$ $$ {\large T = 2\pi} $$

Il periodo fondamentale

Possiamo fare ora la seguente osservazione: Se una funzinone è periodica di periodo \( T \), allora sarà sicuramente periodica di periodo \( kT \), dove \( k \) rappresenta un numero intero positivo. Graficamente significa che se considero un periodo della funzione cioè un intervallo dopo il quale il segnale si ripete, se considero un intervallo doppio, triplo.... avrò che il segnale dopo ogni intervallo doppio, triplo si ripeterà identicamente

$$ x(t + kT) = x(t) $$

Ciò a cui siamo interessati invece è il periodo cosiddetto fondamentale ovvero il più piccolo intervallo temporale per il quale il segnale si ripete