Formule integrali di Cauchy

Le formule integrali di Cauchy sono uno dei risultati fondamentali dell’analisi complessa. Esse forniscono una relazione tra i valori di una funzione analitica su un contorno chiuso e i suoi valori all’interno della regione delimitata dal contorno. Queste formule giocano un ruolo cruciale nel calcolo dei valori delle funzioni analitiche e delle loro derivate.

Enunciato

Sia \( f(z) \) una funzione analitica su una regione semplicemente connessa \( D \), e sia \( \gamma \) un contorno chiuso semplice all’interno di \( D \). Per ogni punto \( z_0 \) interno a \( \gamma \), si ha:

\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z – z_0} \, dz. \]

Questa formula afferma che il valore di \( f(z_0) \) è determinato completamente dai valori di \( f(z) \) lungo il contorno \( \gamma \).

Estensione alle derivate

Le formule integrali di Cauchy possono essere estese per calcolare le derivate di una funzione analitica. La derivata \( n \)-esima di \( f(z) \) in un punto \( z_0 \) è data da:

\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z – z_0)^{n+1}} \, dz. \]

Questa formula permette di calcolare qualsiasi derivata di \( f(z) \) in termini dei suoi valori su un contorno chiuso.

Interpretazione geometrica

Le formule di Cauchy mostrano che le funzioni analitiche sono completamente determinate dai loro valori su un contorno. Questo è una conseguenza della proprietà di essere analitiche, che implica che non possono avere variazioni locali “indipendenti” all’interno del dominio.

Esempio

Esempio: Calcolo di un integrale con la formula di Cauchy

Calcoliamo \( \int_{\gamma} \frac{1}{z – z_0} \, dz \), dove \( \gamma \) è il cerchio unitario \( |z| = 1 \), percorso in senso antiorario, e \( z_0 \) è l’origine \( z_0 = 0 \).

La formula di Cauchy afferma che:

\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z – z_0} \, dz. \]

Per \( f(z) = 1 \), abbiamo:

\[ \int_{\gamma} \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i. \]

Questo risultato è una conseguenza del fatto che \( \frac{1}{z} \) ha un residuo pari a \( 1 \) nell’origine, e quindi l’integrale sul contorno risulta proporzionale al residuo.

Teorema del valore medio per le funzioni analitiche

Una conseguenza importante delle formule di Cauchy è il teorema del valore medio. Esso afferma che il valore di una funzione analitica al centro di un cerchio è la media dei suoi valori sul bordo del cerchio. Precisamente, se \( \gamma \) è il contorno di un cerchio di raggio \( R \) centrato in \( z_0 \), allora:

\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0 + Re^{i\theta}) \, d\theta. \]

Questo risultato evidenzia l’elevata regolarità delle funzioni analitiche.

Conclusione

Le formule integrali di Cauchy sono uno strumento potente per calcolare valori e derivate di funzioni analitiche. Esse rappresentano una delle molteplici connessioni tra il comportamento locale e globale delle funzioni analitiche, evidenziando la loro natura rigida e ben definita.