Concetto di integrale di una funzione complessa
In analisi complessa, il concetto di integrale di una funzione complessa estende il classico integrale definito per le funzioni reali. L’integrale di una funzione complessa si calcola lungo un contorno (o curva) nel piano complesso, ed è una quantità che dipende sia dalla funzione \( f(z) \) che dal percorso seguito nel piano complesso.
Definizione
Sia \( \gamma \) una curva nel piano complesso, parametrizzata da:
\[ \gamma(t) = x(t) + i y(t), \quad a \leq t \leq b, \]
dove \( x(t) \) e \( y(t) \) sono funzioni reali e continue, e \( t \) è un parametro reale. Se \( f(z) \) è una funzione definita e continua su \( \gamma \), l’integrale complesso lungo il contorno \( \gamma \) è definito come:
\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt. \]
Qui, \( \gamma'(t) = \frac{d\gamma(t)}{dt} \) è la derivata della parametrizzazione della curva.
Interpretazione geometrica
In questa definizione:
- \( f(z) \) rappresenta la funzione complessa che si sta integrando.
- \( \gamma(t) \) descrive il percorso nel piano complesso lungo cui viene calcolato l’integrale.
La formula implica che il calcolo dell’integrale tiene conto sia dei valori della funzione \( f(z) \) lungo il contorno \( \gamma \), sia della direzione in cui il contorno è percorso.
Forma esplicita
Se scriviamo \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) e \( dz = dx + i dy \), l’integrale complesso può essere separato in due parti reali:
\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{\gamma} \left[ u(x, y) \, dx – v(x, y) \, dy \right] + i \int_{\gamma} \left[ u(x, y) \, dy + v(x, y) \, dx \right]. \]
Questa espressione evidenzia che l’integrale complesso combina contributi provenienti sia dalle componenti reale che immaginaria di \( f(z) \).
Esempio
Calcoliamo l’integrale della funzione \( f(z) = z \) lungo il contorno \( \gamma \), definito come il cerchio unitario \( |z| = 1 \), percorso in senso antiorario. La parametrizzazione del cerchio è:
\[ \gamma(t) = e^{it}, \quad 0 \leq t \leq 2\pi. \]
Qui, \( \gamma'(t) = ie^{it} \), e quindi:
\[ \int_{\gamma} z \, dz = \int_0^{2\pi} \gamma(t) \gamma'(t) \, dt = \int_0^{2\pi} e^{it} (i e^{it}) \, dt = i \int_0^{2\pi} e^{2it} \, dt. \]
Ora calcoliamo l’integrale:
\[ i \int_0^{2\pi} e^{2it} \, dt = i \left[ \frac{e^{2it}}{2i} \right]_0^{2\pi} = i \left( \frac{e^{4\pi i} – e^{0}}{2i} \right). \]
Siccome \( e^{4\pi i} = 1 \), abbiamo:
\[ \int_{\gamma} z \, dz = i \cdot 0 = 0. \]
Teorema di Cauchy-Goursat
Un risultato fondamentale per gli integrali complessi è il Teorema di Cauchy-Goursat, che afferma che se \( f(z) \) è analitica in una regione semplicemente connessa e \( \gamma \) è un contorno chiuso in tale regione, allora:
\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0. \]
Questo teorema evidenzia che le funzioni analitiche hanno proprietà molto speciali rispetto agli integrali lungo contorni chiusi, rendendo l’analisi complessa particolarmente potente e unica.
Conclusione
Il concetto di integrale complesso non è solo un’estensione del calcolo reale, ma una nuova prospettiva che lega analisi, geometria e topologia. Le sue applicazioni spaziano dalla fisica teorica all’ingegneria, rendendolo uno strumento indispensabile per comprendere i fenomeni che coinvolgono funzioni complesse.