Introduzione

Benvenuto nel corso di algebra lineare! Gli argomenti che affronteremo nel corso di queste lezioni rivestono un ruolo direi centrale in tutte le scienze tecniche applicate e non solo. L'algebra lineare trova impiego in ingegneria, fisica, matematica, specie in fisica moderna ad es. meccanica quantistica e teoria delle stringhe, dove riveste un ruolo centrale.

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Spazi Vettoriali
  1. Introduzione

  2. Definizione di spazio vettoriale

    1. Esempi classici di spazi vettoriali
      1. Lo spazio \( \mathbb R^n \)
      2. Lo spazio delle matrici \( \mathbb M^{\times n} \)
      3. Lo spazio dei polinomi \( P_{\mathbb R(x))[n]}\)
  3. Combinazione lineare

  4. Lineare dipendenza

  5. Lineare indipendenza

  6. Stabilire se dei vettori sono l.i. o l.d.

    1. Esempi numerici
  7. Sottospazi vettoriali

    1. Test (sottospazio)
    2. Intersezione di sottospazi
    3. Unione di sottospazi
    4. Somma di sottospazi
      1. Teorema: di struttura
    5. Somma diretta
  8. Span
  9. Generatori

    1. Base di uno spazio vettoriale
      1. Componenti
      2. Base canonica
      3. Esempi
    2. Dimensione di uno spazio
  10. Formula di Grassmann
  11. Cambio di base

Lo spazio euclideo tridimensionale \({\mathbb R^3}\)

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Lo spazio \({\mathbb R^n}\)

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Matrici & Determinanti

Applicazioni Lineari
  1. Il concetto di applicazione lineare

    1. Condizione necessaria di linearità

    2. Teorema: isomorfismo a \( \mathbb K^n \)

  2. L'insieme \( \mathbb{Hom_{K}(V, W)} \)

  3. Morfismi

    1. Omomorfismi
    2. Isomorfismi
    3. Endomorfismi
    4. Automorfismi
  4. Nucleo \( \mathbb{Ker(f)} \)

    1. Teorema: iniettività di un'a.l.

  5. Immagine \( \mathbb{Im(f)} \)

  6. Relazioni tra nucleo ed immagine

    1. Lemma: dei generatori d'immagine

  7. Teorema: della dimensione (nullità+rango)
  8. Calcolo di basi e dimensioni

    1. Determinazione di base e dimensione del nucleo

    2. Determinazione di base e dimensione dell'immagine

  9. Matrice di un'applicazione lineare

    1. Applicazione della matrice

    2. Somma e prodotto di a.l.

    3. Composizione di a.l.

    4. Il calcolo dell'immagine di \(f\)

  10. Matrici di cambiamento di base

    1. Effetto su un vettore
    2. Relazioni tra le matrici di cambio di base
    3. Interpretazione come endomorfismo

Quadriche

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