Matrice associata ad una applicazione lineare

Arrivati a questo punto ci starete chiedendo: cosa ce n'è facciamo della matrice associata all'applicazione lineare? In questa sezione vi farò vedere come attraverso la matrice, possiamo "bypassare" un po di calcoli per la determinazione dell'immagine di un vettore. Vogliamo cioò calcolare \( f(v)\) dove \( v \in \mathrm V \) è un vettore del dominio di \( f\). Il tutto è riassunto nel grafico in basso:

Matrice applicazione lineare
$$ \diamond $$

Cosa rappresenta questo schema? Esso riassume il ruolo dell'applicazione \( f\) del dominio, del codominio e mostra come la matrice \( \mathrm A\) entra in scena... è lo fa in un modo sorprendente:

L'immagine \( w = f(v) \) di un vettore \( v \) del dominio, si ottiene moltiplicando la matrice \( \mathrm A\) per il vettore \( v\)

Questo è un fatto assolutamente importante ed efficiente! L'effetto dell'applicazione della matrice \( \mathrm A\cdot\) o meglio, del prodotto della matrice \( \mathrm A \) per un qualunque vettore del dominio corrisponde all'applicazione della funzione \( f\) a quel vettore!

Possiamo vedere la matrice \( \mathrm A \) come una sorta di operatore che trasforma un vettore in un altro (in questo caso, nell'immagine di \( f\)). Ecco il ruolo centrale della matrice associata all'applicazione lineare (ecco perchè essa sostituisce la \( f\) in tutto e per tutto, anche da un punto di vista algebrico, se volessimo implementare un qualche programma che svolga dei calcoli sulle applicazioni lineari, aui nostri elaboratori, basterebbe dare in pasto la matrice \( \mathrm A\) $$ \diamond\diamond\diamond $$

determinazione dell'immagine di un vettore

Come è possibile che attraverso la matrice si riesce ad ottenere lo stesso risultato dell'applicazione di \( f\) ad un vettore? Allora, vi spiego brevemente come questo sia possibile. Partiamo da un vettore del codominio \( w \in \mathrm W \). Naturalmente vale la seguente cosa: $$ \large w = f(v) = f\left( \sum_{j=1}^m \lambda_j v_j \right) $$ Perchè il vettore \( v\) si può esprimere come combinazione lineare dei vettori della base di \( \mathrm V\) con opportuni coefficienti \( \lambda_j \). Ora per la proprietà di omomorfismo di \( f\) possiamo scrivere: $$ f\left( \sum_{j=1}^m \lambda_j v_j \right) = \sum_{j=1}^m \lambda_j f\left(v_j \right) $$ Ossia, l'immagine della c.l. è la c.l. delle immagini (con gli stessi coefficienti \( \lambda_j\) ). Ora osservate che nella formula compare \( f(v_j)\). Si tratta di un vettore che stà nell'insieme \( \mathrm W \), perciò possiamo esprimerlo come combinazione lineare rispetto alla base di \( \mathrm W \) \( f(v_j) = w = \sum_{i=1}^n\)

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