Condizione necassaria per la linearità

Per vadere se una data funzione è lineare, bisogna in teoria verificare le poprietà di omomorfismo, ossia la linearità e l'omogeneità: tradotto (bisogna verificare che l'immagine della combinazione lineare è la combinazione lineare delle immagini). Esiste, tuttavia una scorciatoia che ci permette di abbreviare i calcoli...

Tutto parte dal vettore nullo. Cosa accade quando applichiamo la funzione al vettore nullo? In che cosa si trasforma? Per capirlo, consideriamo una funzione lineare \( f: \mathrm V \rightarrow \mathrm W \). Ora se consideriamo il vettore nullo \( \vec 0\).

Che cos'è \( f(\vec 0) \)?

Naturalemente presi due vettori \( v_1\) e \(v_2 \) in \( \mathrm V \) e due coefficienti \( \lambda_1 \) e \( \lambda_2 \) di un campo \( \mathbb K \), vale: $$ f(\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2) $$ Se applichiamo questa regola al vettore nullo possiamo scrivere la seguente cosa (siccome non so chi è \( f(\vec 0) \) lo chiamo \( w\)). $$ f(\vec 0 + \vec 0) = f(\vec 0) \hspace{1cm} f( \vec 0) = w $$ Ora, mi ricordo della proprietà di omomorfismo e spezzo la funzione nella somma delle immagini: $$ f(\vec 0) + f(\vec 0) = f(\vec 0) $$ $$ w + w = w $$ $$ w = 0 $$ $$ f( \vec 0 ) = \vec 0 $$

Ogni applicazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo

Abbiamo trovato una condizione necessaria per la linearità. Se un'applicazione è lineare, necessariamente deve mandare il vettore nullo nel vettore nullo
$$ \diamond $$ Attenzione! La condizione è necessaria, questo significa che se un'applicazione manda il vettore nullo nel vettore nullo non è detto che sia lineare (certamente se non vale \( f(\vec 0) = \vec 0\) allora non è lineare).

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