Lemma dei generatori dell'immagine

Questo risultato ci da informazioni sull'immagine, in particolare la natura dei vettori trasformati da un'applicazione lineare.

Ripendiamo la nostra funzione lineare \( f: \mathrm V \rightarrow \mathrm W \). Se \( \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \), sono una base del dominio \( \mathrm V\), allora cosa possiamo dire delle immagini \( F(v_1, f(v_2)...\) ? Sicuramente possiamo affermare che sono generatori di \( \mathrm W \)

$$ \diamond $$

LEMMA (dei generatori)


La dimostrazione è una diretta conseguenza della definizione di \( \mathbb{Im(f)}\).
Sia \( w \in \mathbb{Im(f)}\). Allora \( w = f(v) \) per qualche \( v \in \mathrm V\).

Se esplicitiamo \( v\) come c.l. della base di \( \mathrm V\) possiamo scrivere: $$ v = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n $$ $$ v = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n $$ $$ \large v = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i $$ $$\downarrow $$ $$ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n $$ ma allora, sostituendo nell'argomento di \( f\): $$ w = f(v) = f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) = f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n) $$ $$ w = f(v) = f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) = f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n) $$ $$ w = f(v) = f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) $$ $$\downarrow $$ $$ f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n) $$ Siccome \( f\) è lineare (l'immagine della c.l. è la c.l. delle immagini con gli stessi coefficienti): $$ w = f(v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i w_i $$ $$ \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \ldots + \lambda_n w_n $$ Quindi $$ \large \langle \mathbb{Im(f)}\rangle = \{w_1, w_2, \ldots, w_n \} $$ $$ \Large \square $$

Immagine applicazione lineare image im
$$ \diamond $$
BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath