Immagine

L'altro concetto basilare di un'applicazione lineare è l'immagine. Mentre il nucleo è un sottoinsieme del dominio \( \mathrm V \), l'immagine è un sottoinsieme del codominio \( \mathrm W\), in particolare è l'insieme di tutti gli elementi che hanno una controimmagine che li ha generati. In formule.

$$ \large \mathbb Im(f) = \{ w \in \mathrm W \hspace{1mm} | \hspace{2mm} \exists v \in \mathrm V, t.c. f(v) = w \} $$

Per indicare l'immagine di un'applicazione lineare \( f\) utilizziamo la seguente notazione: \( Im(f) \). Graficamente, con un'immagine del tutto astratta possiamo visualizzare l'insieme immagine di un' a.l. come riportato di seguito:

Immagine applicazione lineare image im
$$ \diamond $$

Teorema: Im è sottospazio vettoriale

Come accade per il nucleo, anche l'immagine oltre ad essere semplicemente un sottoinsieme di \( \mathrm W \) è anche sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale \( \mathrm W \). Per dimostrarlo seguite i passaggi in basso.


DIMOSTRAZIONE


Per dimostrare se un insieme è sottospazio vettoriale (o spazio vettoriale) bisogna verificare la chiusura rispetto alle combinazioni lineari. Quindi consideriamo due elementi dell'immagine: $$ w_1 \in \mathbb{Im(f)}, w_2 \in \mathbb{Im(f)} $$ $$ f(v_1) = w1 \hspace{5mm} f(v_2) = w_2 $$

Per prima cosa verifichiamo se la somma di \( w_1 + w_2 \overset{?}{\in} \mathbb{Im(f)}\) appartiene all'immagine: Se questo è vero deve esistere un \( \hat{v}\) tale che \( f(\hat v) = w_1 + w_2\) Siccome \( f\) è applicazione lineare (omomorfismo) allora: $$ f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2) = w_1 + w_2 $$ $$ f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2) = w_1 + w_2 $$ $$ f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2) $$ $$\downarrow $$ $$ w_1 + w_2 $$ ma quindi \( \hat{v} = v_1 + v_2 \) Quindi la somma è ancora un elemento dell'immagine \( v_1+v_2 \in \mathbb{Im(f)} \)

Vediamo ora il prodotto per uno scalare. Consideriamo uno scalare \( \lambda \in \mathbb K \) ed un vettore dell'immagine \( w \in \mathbb{Im(f)}\) ci chiediamo se \( \lambda w \overset{?}{\in} \mathbb{Im(f)}\) deve esistere un qualche \( \hat{v} \in \mathrm V \), tale per cui si abbia che \( f(\hat{v} = \lambda w\) : Siccome \( f\) è applicazione lineare (omomorfismo) allora: $$ f(\lambda v) = \lambda f(v) = \lambda w $$ Quindi anche il prodotto per uno scalare appartiene all'immagine \( \lambda w \in \mathbb{Im(f)} \)

Abbiamo dimostrato che l'immagine \( \mathbb{Im(f)}\) è un sottospazio vettoriale del codominio \( \mathbb W \hspace{5mm} \) $$ \large \square $$

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