Teorema di iniettività di un'applicazione lineare

Dimostriamo un risultato molto semplice ed utile, sia da un punto di vista teorico, che applicativo: Ossia che un'applicazione lineare è iniettiva e solo se, il nucleo contiene solo lo zero: \( \vec 0 \) (vettore nullo).

$$ \large f \hspace{2mm} {\small iniettiva} \iff \mathbb{Ker(f)} = \vec 0 $$

Una funzione è iniettiva quando a valori distinti associa valori distiniti, non devono esistere due valori diversi nel dominio che generano la stessa immagine, se questo accade, allora la funzione non è iniettiva. Ora se ci pensate, se nel nucleo ci fosse un altro elemento oltre allo zero (\(vec 0 \)), ci sarebbero due valori che vanno in zero, e quindi la funzione non sarebbe iniettiva.

Immagine applicazione lineare image im
$$ \diamond $$

DIMOSTRAZIONE \( (\Rightarrow) \)


Supponiamo che \( f\) è iniettiva, quindi $$ v_1 \neq v_2 \Rightarrow f(v_1) \neq f(v_2) $$ Se ci fosse un altro elemento nel nucleo oltre a \( \vec 0\), allora ci sarebbero due valori differenti che corrisponderebbero alla stessa immagine contro l'ipotesi.


DIMOSTRAZIONE \( (\Leftarrow) \)


Supponiamo che il nucleo contiene solo \( \vec 0\). Se la funzione non fosse iniettiva allora avremo che: $$ f(v_1) = f(v_2) \rightarrow f(v_1)-f(v_2) = \vec 0 \rightarrow f(v_1-v_2) = \vec 0 $$ $$ f(v_1) = f(v_2) \rightarrow f(v_1)-f(v_2) = \vec 0 \rightarrow f(v_1-v_2) = \vec 0 $$ $$ f(v_1) = f(v_2) \rightarrow f(v_1)-f(v_2) = $$ $$ \downarrow $$ $$ \vec 0 = f(v_1-v_2) = \vec 0 $$ Troveremmo un altro elemento nel nucleo \( v_1-v_2 \in \mathbb{Ker(f)}\) contro l'ipotesi

$$ \large \square $$

$$ \diamond $$
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