Interpretazione come endomorfismo

Da un punto di vista delle applicazioni lineari, se ricordate, abbiamo visto che ciascuna di esse ha la sua cosiddetta matrice associata, che ne raccoglie tutte le caratteristiche. Ora la domanda è: Qual è il legame tra la matrice del cambiamento di base è la matrice associata all'applicazione lineare? In queste righe cercherò di farvi comprendere questo legame.

$$ \diamond $$

Prendiamo il nostro spazio vettoriale \( \mathrm V \). Un cambio di base è un'operazione che avviene in \( \mathrm V \) stesso. Non c'è bisogno di un altro spazio vettoriale. Da un punto di vista di funzioni tra spazi vettoriali, possiamo pensare al cambio di base come ad un particolare endomorfismo cioè ad una funzione \( f: \mathrm V \rightarrow \mathrm V \) che associa ad un vettore \( v \in \mathrm V\) un altro vettore \( w = f(v) \in \mathrm V \).

Sotto queste condizioni, la matrice del cambiamento di base \( \Xi \) è una matrice quadrata e corrisponde alla matrice associata all'endomorfismo unitario (o funzione identità) \( id: v \rightarrow v \) $$ \large \Xi = \mathbb M^{[\underline{v'}, \underline{v}]} $$

Le colonne di questa matrice sono i coefficienti dei vettori \( v \in \mathrm V \) espressi rispetto all'altra base (sempre in \( \mathrm V\) ), \(\underline{v'} \)

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