Il concetto di applicazione lineare

Un'applicazione lineare non è altro che una funzione tra spazi vettoriali. Cioè sia il dominio che il codominio, sono spazi vettoriali.

$$ \large f : \mathrm V \rightarrow \mathrm W $$

Ora voi direte - come mai dedicare un intero capitolo ad un concetto noto di funzione, solo perchè cambia il dominio ed il codominio? La risposta è triviale. Le applicazioni lineari godono di una marea di proprietà e semplificazioni rispetto alle funzioni classiche dell'analisi, inoltre esiste un legame molto stretto con le trasformazioni geometriche e le matrici. Scopo di queste pagine è scoprire queste proprietà ed impadronirsi dello strumento "applicazione lineare".

Definizione

Consideriamo due spazi vettoriali \( \mathbb V \) e \( \mathbb W\), definiti su un campo \( \mathbb K \), i cosiddetti \( \mathbb K\)-spazi. Ricordo che questo significa che i numeri che utilizziamo, (gli scalari), possono essere reali, complessi ecc.. a seconda che \( \mathbb K = \mathbb R \) o \( \mathbb K = \mathbb C \)... Un'applicazione lineare \( f\) è una funzione \( f: \mathbb V \rightarrow \mathbb W\) tale per cui vale una proprietà particolare: $$ f(\lambda v + \mu w) = \lambda f(v) + \mu f(w) $$ O più in generale $$ f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i) $$ Per ogni scelta di \( \lambda_i\) e \( v_i\).

Questa proprietà e detta omomorfismo (da non confondere con omeomorfismo, che riguarda la topologia), e le applicazioni lineari si chiamano anche omomorfismi.

Il significato è molto semplice ed è espresso dalla definizione in alto: gli omomorfismi conservano le combinazioni lineari (somma e prodotto per uno scalare), infatti nel membro a sinistra la somma è la somma in \( \mathbb V\), lo stesso il prodotto per \(\lambda\), mentre a destra si tratta della somma e del prodotto in \(\mathbb W\); l'uguaglianza stabilisce il fatto che queste operazioni "si conservano", sostanzialmente l'immagine di una combinazione lineare è la combinazione lineare delle immagini con gli stessi coefficienti!

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