Teorema: Isomorfismo a \( \mathbb K^n \)

Ogni spazio vettoriale \( \mathrm V \) , è un insieme di vettori. Sappiamo che ogni spazio vettoriale ammette una base (sistema di generatori linearmente indipendenti), che ci permette di esprimere un qualunque vettore di \( \mathrm V \) come combinazione lineare per opportuni cefficienti (le componenti) in modo unico. Siccome le componenti sono uniche allora possiamo definire una funzione che associa ad ogni vettore le componenti stesse.

$$ \large \mathrm V \ni v \rightarrow f(v) = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in \mathbb K^n $$

Questa funzione è lineare, perchè un vettore è una vombinazione lineare, e noi sappiamo che per le applicazioni lineari l'immagine di una combinazione lineare e la combinazione lineare delle immagini con gli stessi coefficienti Quindi abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale è isomorfo a \( \mathbb K^n \)

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