Matrice associata ad una applicazione lineare

Siamo giunti al cuore della trattazione. Ossia la matrice associata ad una a.l. Questa sezione è estremamente importante perchè fa vedere come due mondi: "le matrici" da una parte, e le "applicazioni lineari" dall'altra, possono "interagire" tra di loro permettendoci di trovare altre strade alla soluzione di problemi, relazioni e risultati sorprendenti.

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Consideriamo un'applicazione lineare \( f: \mathrm V \rightarrow \mathrm W \) e due basi, una di \( \mathrm V = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \), l'altra di \( \mathrm W = \{w_1, w_2, \ldots, w_n\}\). La matrice associata è la carta d'identità dell'applicazione lineare. Mediante essa abbiamo tutte le informazioni per operare con l'applicazione, conosciamo l'immagine le basi ecc.

Per costruire la matrice dobbiamo per prima cosa calcolarci le immagini dei vettori della base di \( \mathrm V \) mediante \(f\): $$ f(v_1) \hspace{5mm} f(v_2) \hspace{5mm} f(v_3) \hspace{5mm} ... f(v_n) $$ Ora noi sappiamo che il generico vettore \( f(v_i) = w_i \in \mathrm W \) si può esprimere come combinazione lineare dei vettori della base di \( \mathrm W\) per il tramite di opportuni coefficienti \( \mu_i, i=[1, ..., m]\). $$ \mathrm W \ni f(v_i) = w_i = \sum_{j=1}^m \mu_j w_j $$ $$ \diamond $$

La matrice si ottiene in questo modo: Le colonne della matrice sono i coefficienti \( \mu_j \) delle immagini di \( v_i\) attraverso \(f\) espresse come combinazioni lineari rispetto alla base di \( \mathrm W\). $$ \mathrm A_{[\underline{v}, \underline{w}]} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & a_{ij} & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} $$ $$ \mathrm A_{[\underline{v}, \underline{w}]} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & a_{ij} & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} $$ $$ \small \mathrm A_{[\underline{v}, \underline{w}]} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & a_{ij} & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

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