Matrici di cambiamento di base

Chiudiamo questo capitolo dedicato alle applicazioni lineai con l'argomento, direi più complesso. Le matrici di vambiamento di base. Non è che sia tanto complesso da analizzare, questo argomento, c'è solo da stare attenti alle notazioni che possono risultare un po appesantite, ma è solo questione di abituarsi alle alla notazione, vedrete che il tutto risulterà molto semplice... naturalmente bisogna che ci mettiate un po del vostro

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Consideriamo uno spazio vettoriale \( \mathrm V\). In questo spazio vettoriale, prendiamo due basi diverse, che chiameremo \( \underline{b1}\) e \( \underline{b2} \). Siccome la dimensione dello spazio \( \mathrm V\) è \( n\), \( dim(\mathrm V) = n \) ogni base sarà costituita esattamente da \( n\) vettori (generatori) linearmente indipendenti.

$$ \underline{b1} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \hspace{1cm} \underline{b2} = \{v_1', v_2', \ldots, v_n'\} $$ $$ \underline{b1} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \hspace{1cm} \underline{b2} = \{v_1', v_2', \ldots, v_n'\} $$ $$ \underline{b1} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \\ \underline{b2} = \{v_1', v_2', \ldots, v_n'\} $$

Se consideriamo un vettore generico di \( \mathrm V \), esso può essere espresso rispetto alle due basi mediante due gruppi diversi di coefficienti (le componenti rispetto a ciscuna delle due basi), componenti indicate con \( \lambda_i \) e \( \lambda_i'\). $$ \mathrm V \ni v = \begin{cases} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i' v_i' = \lambda_1' v_1' + \lambda_2' v_2' + \ldots + \lambda_n' v_n' \end{cases} $$ $$ \mathrm V \ni v = \begin{cases} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i' v_i' = \lambda_1' v_1' + \lambda_2' v_2' + \ldots + \lambda_n' v_n' \end{cases} $$ $$ \small \mathrm V \ni v = \begin{cases} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i' v_i' = \lambda_1' v_1' + \lambda_2' v_2' + \ldots + \lambda_n' v_n' \end{cases} $$ Vi ricordo che da un punto di vista geometrico, la scelta delle due basi corrispnde sostanzialmente ad aver cambiato sistema di riferimento (ogni base corrisponde ad un assetto e/o un riferimento, dove poter descrivere ogni vettore di \( \mathrm V \)). Possiamo dimenticarci delle combinazioni lineari è fare riferimento solo ai coefficienti, indicando la base cui si riferiscono: $$ \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}^{[\underline{b1}]} \hspace{2cm} \begin{pmatrix} \lambda_1' \\ \lambda_2' \\ \vdots \\ \lambda_n' \end{pmatrix}^{[\underline{b2}]} $$

Matrice del cambiamento di base

Vogliamo ora, capire come passare da una base all'altra, ossia come effettuare un cambiamento di base. facciamo la seguente osservazione: Siccome ogni vettore di \( \mathrm V \), si può espriemere come combinazione lineare rispetto ad una base (possiamo immaginare di fissare una delle due basi, es: la base \(\underline{b2} \) ed esprimere anche i vettori della prima base rispetto ad essa.

$$ v_i = \sum_{k=1}^n \xi_{ki}v_{h}' = \xi_{1i}v_1' + \xi_{2i}v_2' + \ldots + \xi_{ni}v_n' \hspace{3cm} {\small \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \\ \vdots \\ v_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} & \ldots & \xi_{1n} \\ \xi_{21} & \xi_{22} & \ldots & \xi_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \xi_{n_1} & \xi_{n2} & \ldots & \xi_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} } $$ $$ v_i = \sum_{k=1}^n \xi_{ki}v_{h}' = \xi_{1i}v_1' + \xi_{2i}v_2' + \ldots + \xi_{ni}v_n' \hspace{2cm} {\small \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \\ \vdots \\ v_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} & \ldots & \xi_{1n} \\ \xi_{21} & \xi_{22} & \ldots & \xi_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \xi_{n_1} & \xi_{n2} & \ldots & \xi_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} } $$ $$ \small v_i = \sum_{k=1}^n \xi_{ki}v_{h}' = \xi_{1i}v_1' + \xi_{2i}v_2' + \ldots + \xi_{ni}v_n' $$ $$ {\small \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \\ \vdots \\ v_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} & \ldots & \xi_{1n} \\ \xi_{21} & \xi_{22} & \ldots & \xi_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \xi_{n_1} & \xi_{n2} & \ldots & \xi_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} } $$

Dove con \( i\) indico il generico vettore della base \( \underline{b2} \). Osservate che sia la base \( \underline{b1} \), che la base \( \underline{b2} \) hanno dimensione \( n\). Questo ci induce a definire una matrice quadrata \( \Xi \), detta matrice di cambiamento di base (da \(\underline{b1} \rightarrow \underline{b2} \)) o di trasformazione di coordinate costruita seguendo questa semplice regola:

Ogni colonna \( i\)-esima della matrice \( \Xi \) contiene le coordinate del vettore \( v_i\) della base \( \underline{b1} \) espresso rispetto alla base \( \underline{b2} \).

matrice del cambiamento di base


Naturalmente se facciamo il ragionamento duale, fissando la base \( \underline{b1}\) ed esprimendo ogni vettore della base \( \underline{b2} \) come combinazione lineare dei vettori di \( \underline{b1} \) con altri coefficienti \( \eta_i \), otteniamo un'altra matrice quadrata \( \Gamma \) che opera il cambio di base inverso (da \(\underline{b2} \rightarrow \underline{b1} \))

$$ v_i' = \sum_{l=1}^n \eta_{ki}v_{h} = \eta_{1i}v_1 + \eta_{2i}v_2 + \ldots + \eta_{ni}v_n \hspace{3cm} {\small \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \eta_{11} & \eta_{12} & \ldots & \eta_{1n} \\ \eta_{21} & \eta_{22} & \ldots & \eta_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \eta_{n_1} & \eta_{n2} & \ldots & \eta_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \\ \vdots \\ v_n' \end{bmatrix} } $$ $$ v_i' = \sum_{l=1}^n \eta_{ki}v_{h} = \eta_{1i}v_1 + \eta_{2i}v_2 + \ldots + \eta_{ni}v_n \hspace{2cm} {\small \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \eta_{11} & \eta_{12} & \ldots & \eta_{1n} \\ \eta_{21} & \eta_{22} & \ldots & \eta_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \eta_{n_1} & \eta_{n2} & \ldots & \eta_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \\ \vdots \\ v_n' \end{bmatrix} } $$ $$ \small v_i' = \sum_{l=1}^n \eta_{ki}v_{h} = \eta_{1i}v_1 + \eta_{2i}v_2 + \ldots + \eta_{ni}v_n $$ $$ {\small \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \eta_{11} & \eta_{12} & \ldots & \eta_{1n} \\ \eta_{21} & \eta_{22} & \ldots & \eta_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \eta_{n_1} & \eta_{n2} & \ldots & \eta_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \\ \vdots \\ v_n' \end{bmatrix} } $$ E la regola cui è strutturata la matrice diviene ora:

Ogni colonna \( i\)-esima della matrice \( \gamma \) contiene le coordinate del vettore \( v_i'\) della base \( \underline{b2} \) espresso rispetto alla base \( \underline{b1} \).

matrice del cambiamento di base


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