Nucleo

Dicesi nucleo di un'applicazione lineare, l'insieme di tutti i vettori che si trasformano nel vettore nullo. Più precisamente, se considero un'applicazione lineare \( f: \mathrm V \rightarrow \mathrm W \) il suo nucleo è un sottoinsieme del dominio \( \mathrm V \) di tutti i vettori che si trasformano (attraverso \( f\)) nello zero (vettore) di \( \mathrm W \). In formule

$$ \large \mathbb Ker(f) = \{ v \in \mathrm V \hspace{1mm} | \hspace{2mm} f(v) = \vec 0 \} $$

Il nome \( \mathbb Ker \) deriva da kernel dall'inglese (nucleo) o (nocciolo). Nei libri di testo, gli autori usano quasi sempre il nome \( \mathbb Ker \) e raramente \( \mathbb Nucl \) in qualche testo italiano. Graficamente, con un'immagine del tutto astratta possiamo visualizzare il nucleo di un' a.l. come riportato di seguito:

Nucleo applicazione lineare kernel ker
$$ \diamond $$

Teorema: Ker è sottospazio vettoriale

La cosa interessante del nucleo è la seguente: il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio di \( f\). Infatti non è un semplice sottoinsieme del dominio \( \mathrm V\), ma è anche sottospazio vettoriale di \( \mathrm V\) (ricordate che \( \mathrm V\) è s.v. Dimostriamo questo fatto.


DIMOSTRAZIONE


Per dimostrare se un insieme è sottospazio vettoriale (o spazio vettoriale) bisogna verifhcare la chiusura rispetto alle combinazioni lineari. Quindi consideriamo due elementi del nucleo: $$ v_1 \in \mathbb{Ker(f)}, v_2 \in \mathbb{Ker(f)} $$

Per prima cosa verifichiamo se la somma di \( v_1 + v_2 \overset{?}{\in} \mathbb{Ker(f)}\) appartiene al nucleo: $$ f(v_1) \vec 0 \hspace{3mm} f(v_2) = \vec 0 $$ Siccome \( f\) è applicazione lineare (omomorfismo) allora: $$ f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2) $$ $$ \downarrow $$ $$ \vec 0 + \vec 0 = \vec 0 $$ Quindi la somma è ancora un elemento del nucleo \( v_1+v_2 \in \mathbb{Ker(f)} \)

Vediamo ora il prodotto per uno scalare. Consideriamo uno scalare \( \lambda \in \mathbb K \) ed un vettore del nucleo \( v \in \mathbb{Ker(f)}\) chi chiediamo se \( \lambda v \overset{?}{\in} \mathbb{Ker(f)}\): Siccome \( f\) è applicazione lineare (omomorfismo) allora: $$ f(\lambda v) = \lambda f(v) = \lambda \vec 0 = \vec 0 $$ Quindi anche il prodotto per uno scalare appartiene al nucleo \( \lambda v \in \mathbb{Ker(f)} \)

Abbiamo dimostrato che il nucleo \( \mathbb{Ker(f)}\) è un sottospazio vettoriale del dominio \( \mathbb V \hspace{5mm} \) $$ \large \square $$

$$ \diamond $$
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