Una volta trovati gli autovalori, possimao risolvere l'equazione \( \mathrm A\xi = \lambda\xi \) per il semplice motivo che abbiamo ridotto il numero di incognite (conoscendo \( \lambda \)) siamo passati da un problema ad \( n\) equazioni ed \( n+1\) incognite ad un problema (risolvibile) di \( n\) equazioni ed \( n\) incognite.

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Ad ogni autovalore i suoi autovettori

Quello che faremo si traduce nella seguente procedura: partiamo da tutte le soluzioni dell'equazione caratteristica: $$ \lmabda_1 \hspace{5mm} \lmabda_2 \hspace{5mm} \lmabda_3 \hspace{5mm} \ldots \lmabda_i \hspace{5mm} \lmabda_{n-1} \hspace{5mm} \lmabda_n

Sostituiamo una per volta, le radici \( \color{990000}{\lambda_i} \) nell'equazione \( \mathrm A\xi = \lambda\xi \), ottenendo \( \mathrm A\xi = \color{990000}{\lambda_i}\xi \) e risolviamo il sistema: $$ \mathrm A\xi - \begin{Vmatrix} \lambda_i & 0& \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_i & \ldots & 0 \\ 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda \end{Vmatrix}\xi = 0 $$ $$ (\mathrm{A-\lambda I}) \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$

Questo è un sistema omogeneo. Se ricordate, le soluzioni \( \neq 0 \), di un sistema omogeneo formano un particolare sottospazio vettoriale, il nucleo. indichiamo questo sottospazio nel modo seguente: $$ \large \mathbb Ker\bigl( \mathrm{A-\lambda I} \bigr) $$

Morale: Le soluzioni del sistema omogeneo ottenuto sostituendo al posto di \( \lambda = \lambda_i \) sono gli autovettori associati a \( \lambda_i \) è formano un sottospazio vettoriale. Di questi sottospazi vettoriali (che chiameremo autospazi) ne abbiamo \( n\), ciascuno associato ad ogni autovalore \( \lambda_i \).

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