Equazione caratteristica

Nel linguaggio delle matrici, l'equazione agli autovalori, assume una forma compatta ed un significato profondo. Per capirlo consideriamo una funzione lineare \( f: \mathrm V \rightarrow \mathrm V\) (endomorfismo) e la sua matrice associata \( \mathrm A \in \mathm M^{n\times n} \) e due basi \( \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \) e \( \{w_1, w_2, \ldots, w_n\} \):

Sappiamo che le colonne di \( \mathrm A \), corrispondono alle immagini espresse nella base \( \{w_1, w_2, \ldots, w_n\} \) di ciascun vettore della base \( \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \). Questa è proprio la definizione della matrice associata. Detto in altri termini la colonna \( i\)-esima di \( \mathrm A \) è pari a: $$ \mathrm A^i = f(v_i) = \eta_1 w_1 + \eta_2 w_2 + \ldots + \eta_n w_n \longrightarrow \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} $$ $$ \mathrm A^i = f(v_i) = \eta_1 w_1 + \eta_2 w_2 + \ldots + \eta_n w_n \longrightarrow \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} $$ $$ \mathrm A^i = f(v_i) = \eta_1 w_1 + \eta_2 w_2 + \ldots + \eta_n w_n $$ $$ \downarrow $$ $$ \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} $$

Ebbene, riconsideriamo adesso l'equazione fondamentale del problema agli autovalori $$ \large f(v) = \lambda v $$

Questa equazione si può, scrivere anche come \( \mathrm Av = \lambda v\) perchè sappiamo che \( \mathrm Av = f(v) \) (per definizione di matrice associata) L'equazione ci stà semplicemente imponendo che l'ìimmagine di \( v\), cioè l'effetto della funzione \( f\) su un vettore \( v\) sia quello di moltiplicare \( v\) per lo scalare \( \lambda\) in sostanza stiamo chiedendo di dilatare o conbtrarre il vettore. A cosa corrisponde in termini di matrici questo effetto?

Riprendiamo la matrice associata.

Se proviamo a riscrivere l'equazione portando tutto a sinistra avremo che: $$ \mathrm T(x) - \lambda x = 0 $$ Ricordando le proprietà di invarianza della matrice identica \( \mathbb I\), possiamo riscrivere, l'equazione nel modo seguente: $$ \mathrm T(x) - \lambda \mathbb I(x) = 0 $$ ossia, compattando le matrici $$ (\mathrm T - \lambda\mathbb I) x = 0 $$

Secondo questa espressione possiamo reinterpretare il significato degli autovalori e degli autovettori:
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