Esempi di calcolo di autovalori

Dunque, vediamo ora qualche esempio numerico in cui andremo a calcolare gli autovalori, data una matrice.

Suppondiamo di avere a dispodizione una matrice \( \mathrm A \)di un qualche endomorfidmo vogliamo calcolare gli autovalori:

$$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} -7 & -9 \\ 6 & 8 \end{Vmatrix} $$

Per prima cosa dobbiamo calcolare il polinomio caratteristico associato: esso, si ottiene calcolando il determinante della matrice \( \mathrm{A-\lambda I} \): $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} -7 & -9 \\ 6 & 8 \end{Vmatrix} \hspace{3mm} \rightarrow \hspace{3mm} p_{\mathrm A}(\lambda) = det\begin{Vmatrix} -7-\lambda & -9 \\ 6 & 8-\lambda \end{Vmatrix} $$ $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} -7 & -9 \\ 6 & 8 \end{Vmatrix} \hspace{3mm} \rightarrow \hspace{3mm} p_{\mathrm A}(\lambda) = det\begin{Vmatrix} -7-\lambda & -9 \\ 6 & 8-\lambda \end{Vmatrix} $$ $$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} -7 & -9 \\ 6 & 8 \end{Vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \hspace{3mm} p_{\mathrm A}(\lambda) = det\begin{Vmatrix} -7-\lambda & -9 \\ 6 & 8-\lambda \end{Vmatrix} $$ $$ (-7-\lambda)(8-\lambda) = \lambda^2-\lambda-2 $$

Si ottiene cos' un'equazione di grado \( 2\), per il semplice fatto che la matrice \( \mathrm A\) è di ordine \( 2\). più in generale il grado del polinomio caratteristico è pari all'ordine della matrice \( \mathrm A \) $$ \partial(p_{\mathrm A}(\lambda)) = dim(\mathrm A) $$

Equazione caratteristica

Per quanto abbiamo detto in precedenza, per trovare gli autovalori, bisogna porre la condizione che il determinante della matrice \( \mathrm{A-\lambda I} \) sia nullo. A tal proposito otteniamo la cosiddetta equazione caratteristica azzerando semplicemente il polinomio caratteristico

$$ p_{\mathrm A}(\lambda) = 0 $$ $$ \lambda^2-\lambda-2 = 0 $$ Le soluzioni dell'equazione carattteristica sono gli autovalori: Risolviamo l'equazione: $$ \lambda_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} = {1 \pm \sqrt{9} \over 2} = {1 \pm 3 \over 2} $$ $$ \lambda_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} = {1 \pm \sqrt{9} \over 2} = {1 \pm 3 \over 2} $$ $$ \lambda_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} $$ $$\downarrow $$ $$ {1 \pm \sqrt{9} \over 2} = {1 \pm 3 \over 2} $$ $$ {1 \pm 3 \over 2} \rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = 2 \\ \lambda_2 = -1 \end{cases} $$
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