Forma canonica e Matrici simili

Iniziamo la questione degli autovalori e degli autovettori con il discorso del cambio di base. Abbiamo visto che se abbiamo una applicazione lineare, a questa possiamo associargli una matrice \( \mathrm A\) che raccoglie tutte le informazioni sulla funzione stessa, ad esempio, sappiamo che \( f(v)\) corrisponde al prodotto \( \mathrm Av \).

Ora, voi sapete che la matrice si costruisce rispetto alla base di partenza ed alla base di arrivo. Il problema che porta agli autovalori è trovare una matrice che per un cambio di base sia la più semplice possibile.

$$ \diamond $$

Due matrici si dicono simili o equivalenti e si indica con il simbolo \( \lambda \), se esiste una matrice speciale \( \mathbb M \) inveribile (appartenente al gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili di ordine \( n\), \( \mathbb M^{n\times n} in \mathbb G_{ln}(\mathbb K) \) ) - tale per cui valga: $$ \large \mathrm A = \mathrm{M^{-1}BM} $$ Se esiste questa matrice, allora \( \mathrm A \sim \mathrm B \) (le matrici sono simili). Ora cos'hanno di speciale due matrici simili? Perchè siamo interessati a ricercarle? La risposta è triviale è fondamentale: due matrici simili rappresentano la stessa applicazione lineare vista da due basi differenti.

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