Molteplicità algebrica

Per capire il concetto di molteplicità algebrica facciamo un ulteriore esempio di calcolo di autovalori

Consideriamo la seguente matrice \( 2\cdot 2\) per semplicità:

$$ \mathrm A = \begin{Vmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 4 \end{Vmatrix} $$

Calcoliamo polinomio caratteristico - ossia, il determinante della matrice \( \mathrm{A-\lambda I} \): $$ p_{\mathrm A}(\lambda) = det\begin{Vmatrix} 0-\lambda & 4 \\ -1 & 4-\lambda \end{Vmatrix} = $$ $$ = (2-\lambda)(3-\lambda) = \lambda^2-4\lambda+4 $$

Ora risolviamo l'equazione caratteristica per trovare gli autovalori, poniamo cioè il polinomio caratteristico a \( 0\) e risolviamo l'equazione otenuta: In questo caso, siccome la dimenzione della matrice \( \mathrm A \) è \( 2\) l'equazione sarà di \( 2\) grado $$ \lambda^2-4\lambda+4 = 0 $$

Osservando questa equazione ci accorgiamo che si tratta di un quadrato perfetto $$ \lambda^2-4\lambda +4 = \lambda -2)^2 $$ $$ \lambda_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} = {4 \pm \sqrt{0} \over 2} = {4 \pm 0 \over 2} = 2 $$ $$ \lambda_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} = {4 \pm \sqrt{0} \over 2} = {4 \pm 0 \over 2} = 2 $$ $$ \lambda_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ {4 \pm \sqrt{0} \over 2} = {4 \pm 0 \over 2} = 2 $$ $$ \begin{cases} \lambda_1 = 2 \\ \lambda_2 = 2 \end{cases} $$

Molteplicità algebrica

La molteplicità algebrica esprime quante volte si ripete una soluzione nell'equazione caratteristica. Ad esempio: se nel polinomio \( p_{\mathrm A}(\lambda) \) (scomposto), compare il fattore: $$ \bigl( \lambda - a \bigr)^r $$ Allora \( \lambda = a \) ha molteplicità algebrica \( r\) e si indica: \( m_a(\lambda) = r \). Si tratta di un modo più rigoroso di organizzare le radici del polinomio caratteristico per evitare confusione. Il nome "molteplicità algebrica" distingue la cosiddetta "molteplicità geometrica", di cui parleremo tra qualche paragrafo.

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