Polinomio di una matrice \( 2 \cdot 2 \)

Facciamo un esempio di calcolo del polinomio caratteristico su un caso particolare: una matrice \( 2\cdot 2 \). Questo esempio servirà per mostrare un fatto particolare del polinomio caratteristico, che verrà generalizzato in seguito quando parleremo del Teorema di Cayley-Hamilton. Iniziamo:

$$ \diamond $$

Supponiamo di voler calcolare il polinomio caratteristico di una generica matrice di ordine \(2\). $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ Abbiamo visto che il polinomio caratteristico è il determinante della matrice \( mathrm{A-\lambda I} \), cioè della matrice che si ottiene sottraendo \( \lambda \) algli elementi della diagonale di \( \mathrm A\): $$ det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = det\left[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] $$ $$ \downarrow $$ $$ det\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d -\lambda \end{pmatrix} = (a-\lambda)(d -\lambda) - bc = ad -\lambda d -\lambda a + \lambda^2 - bc $$ $$ det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = det\left[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] $$ $$ \downarrow $$ $$ det\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d -\lambda \end{pmatrix} = (a-\lambda)(d -\lambda) - bc = ad -\lambda d -\lambda a + \lambda^2 - bc $$ $$ det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ $$\downarrow $$ $$ det\left[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] $$ $$ \downarrow $$ $$ det\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d -\lambda \end{pmatrix} = \\ = (a-\lambda)(d -\lambda) - bc = \\ = ad -\lambda d -\lambda a + \lambda^2 - bc $$

Operando il prodotto e riordinando i termini, otteniamo un'equazione di \( 2\) grado $$ \lambda^2 -(a+d)\lambda + (ad-bc) $$ Ora osservate attentamente questa equazione... cosa notate? Riconoscete chi sono \( (a+d) \) e \( (ad-bc) \)? Naturalemte voi direte, il coefficiente del temine di grado \( 1\) ed il termine noto. Ma a cosa corrispondono in particolare? Sorprendentemente \( (a+d) = tr(\mathrm A) \) è la traccia di \( \mathrm A\), mentre \((ac-bd) = det(\mathrm A)\) è il determinante. In generale il polinomio caratteristico di grado \( 2\) si può scrivere equivalentemente come: $$ p_{\mathrm A}(\lambda) = \lambda^2 - tr(\mathrm A)\lambda + det(det(\mathrm A) $$

$$ \diamond\diamond $$
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