Polinomio di una matrice \( 3 \cdot 3 \)

Proviamo a calcolare il polinomio caratteristico nel caso di una matrice \( 3 \cdot 3\). L'esempio mostra, come nel caso \( 2 \cdot 2\), un fatto del tutto generale: ossia nel polinomio, compaiono la traccia ed il determinante della matrice di partenza.

$$ \diamond $$

Consideriamo una matrice \( \mathrm A \in \mathrm Q^{3\times 3} \) (di ordine \( 3\)). $$ \mathrm A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$

Vogliamo calcolare il polinomio caratteristico associato alla matrice. Ricordo che sarà un polinomio di \( 3\) grado, in quanto l'ordine della matrice è \( n=3\). Il polinomio corrisponde al determinante della matrice \( (\mathrm{A-\lambda I_3 )\). $$ p_{\mathrm A}(\lambda) = det(\mathrm{A-\lambda I_3 ) = det\left[ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right] $$ $$ \uparrow $$ $$ det\begin{pmatrix} a - \lambda & b & c \\ d & e- \lambda & f \\ g & h & i- \lambda \end{pmatrix} \overset{\overset{Laplace}{\uparrow}}{=} (a-\lambda)\begin{pmatrix} e-\lambda & f \\ h & i-\lambda \end{pmatrix} - b \begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}d & e-\lambda \\ g & h \end{pmatrix} $$ $$ \uparrow $$ $$ \small \begin{align} (a-\lambda)[(e-\lambda)(i-\lambda)-fh] -b[di-fg] +c[dh - g(e-\lambda)] = \\ = (a-\lambda)[ei - e\lambda - i\lambda +\lambda^2 - fh] -bdi +bfg +cdh -cg(e-\lambda) = \\ = aei -ae\lambda -ai\lambda + a\lambda^2 -afh -ei\lambda +e\lambda^2 + i\lambda^2 -\lambda^3 +fh\lambda -bdi +bfg + cdh -cge + cg\lambda = \\ = -\lambda^3 +\underset{\underbrace{tr(\mathrm A)}{(a+e+i)}\lambda^2 + (-ei+fh -ae -ai + cg)\lambda + \underset{\underbrace{det(\mathrm A)}{(aei -afh -bdi +bfg + cdh -cge)} \end{align} $$

Riprendiamo la formula ottenuta: $$ -\lambda^3 +(a+e+i)\lambda^2 + (-ei+fh -ae -ai + cg)\lambda + (aei -afh -bdi +bfg + cdh -cge) $$ Come potete osservare: il coefficiente del termine di grado \( n-1 \) è la traccia di \( \mathrm A \), mentre il termine noto (coefficiente di grado \( 0\)) è il determinante di \( \mathrm A \). $$ p_{\mathrm A}(\lambda) = -\lambda^3 +tr(\mathrm A) +(-ei+fh -ae -ai + cg)\lambda + det(\mathrm A) $$

BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione


YouSciences


PhysMath